Mathematik
Baumdiagramm ohne Zurücklegen: Hausaufgaben prüfen
Nach jeder Ziehung die Restanzahl prüfen, passende Pfade wählen und eine eigene Aufgabe nachvollziehbar lösen.
Beim Baumdiagramm ohne Zurücklegen scheitern Hausaufgaben oft schon vor der ersten Rechnung. Das Diagramm sieht ordentlich aus, aber in der zweiten Stufe stehen dieselben Brüche wie am Anfang. Dabei wurde bereits eine Kugel entfernt. Entscheidend ist deshalb nicht nur die passende Rechenregel, sondern die Frage: Welche Gegenstände befinden sich auf genau diesem Weg noch im Beutel?
Dieser Ratgeber erklärt eine selbst entwickelte Schulaufgabe mit zwei Ziehungen. Du kannst alles mit Papier und Stift bearbeiten. Ergänzend zeigen wir, wie ein Hinweis, eine Erklärung oder eine Kontrolle mit Lirno beim Verstehen eines Fehlers helfen kann. Wir setzen zufälliges Ziehen voraus, bei dem jeder verbliebene Gegenstand gleich wahrscheinlich ausgewählt wird. Die Fotos zeigen Lernsituationen, keine Darstellung der vorgegebenen Anzahlen. Beachte die Schreibweise und die Regeln deiner Schule für erlaubte Hilfsmittel.
1. Das Baumdiagramm ohne Zurücklegen aus dem Text entwickeln
In unserer eigenen Beispielaufgabe liegen fünf rote und drei blaue Spielsteine in einem undurchsichtigen Beutel. Du ziehst nacheinander zwei Steine, ohne den ersten zurückzulegen. Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten für zwei rote Steine, genau einen roten Stein und mindestens einen roten Stein. Schreibe zuerst die Gesamtzahl auf: acht. Verwende R für Rot und B für Blau. Die Reihenfolge bleibt im Baum sichtbar, auch wenn sie für das gesuchte Ereignis später egal ist.
Ohne Zurücklegen bedeutet: Der erste gezogene Stein bleibt vor der zweiten Ziehung außerhalb des Beutels. Aus acht verfügbaren Steinen werden sieben. Welche Farbe einen Stein verliert, hängt vom Ergebnis der ersten Ziehung ab. Die Brüche aus den Anzahlen gelten unter der Annahme gleich wahrscheinlicher Auswahl. Wer gezielt einen sichtbaren Stein auswählt, führt ein anderes Experiment durch. Eine mathematische Modellannahme sollte deshalb ausdrücklich zum beschriebenen Versuch passen.
Markiere im Aufgabentext die Wörter genau, mindestens und die Anzahl der Ziehungen. Genau ein roter Stein umfasst RB und BR. Mindestens ein roter Stein schließt zusätzlich RR ein. Notiere diese Wege vor einer Anfrage an eine App. So hast du eine eigene Entscheidung, mit der du die spätere Erklärung vergleichen kannst. Eine fehlerfreie Rechnung beantwortet die Aufgabe nur dann, wenn du das richtige Ereignis ausgewählt hast.
2. Die vollständige Hausaufgabe erfassen und den Scan prüfen
Für Lirno fotografierst du die gesamte Aufgabe mit den Anzahlen, der Anweisung und einem eventuell vorhandenen Diagramm. Persönliche Angaben, Namen und Noten gehören nicht ins Bild. Achte besonders darauf, dass ohne Zurücklegen lesbar bleibt. Ein Foto nur von der letzten Frage enthält nicht alle Informationen für die zweite Stufe. Bei einem vorgegebenen Baum müssen die Beschriftungen und beide Verzweigungen vollständig sichtbar sein.
Vergleiche die erkannte Aufgabe anschließend mit dem Original: fünf rote, drei blaue Steine, zwei Ziehungen, keine Rückgabe. Ein Scan kann eine Zahl verwechseln oder ein Wort übersehen. Verbessere unklare Angaben oder fotografiere neu, bevor du mit einer daraus erzeugten Erklärung weiterarbeitest. Der Lirno Hausaufgaben-Scanner erläutert den Erfassungsablauf. Auch ein scharfes Foto ist keine Garantie dafür, dass alle Bedingungen richtig verstanden werden.
Beginne selbst mit den ersten Ästen: 5/8 für Rot und 3/8 für Blau. Bitte dann beispielsweise um einen Hinweis dazu, welche Anzahlen nach einem roten Stein übrig bleiben. Diese konkrete Frage ist hilfreicher als die Aufforderung, sofort die komplette Abgabe zu schreiben. Halte deinen bisherigen Ansatz fest. Dann kannst du unterscheiden, ob eine Unterstützung deine Vorstellung vom Versuch korrigiert oder lediglich eine einzelne Rechnung verbessert.
3. Nach jedem ersten Ergebnis den Beutel neu beschreiben
Nach R verbleiben vier rote und drei blaue Steine. Die zweite Stufe erhält deshalb die Brüche 4/7 für Rot und 3/7 für Blau. Nach B sind dagegen fünf rote und zwei blaue Steine übrig. Dort lauten die Brüche 5/7 und 2/7. Verringere den roten Zähler nicht nach einer blauen Ziehung: Die Gesamtzahl sinkt, aber auf diesem Weg wurde kein roter Stein entfernt.
Prüfe die Äste an jedem einzelnen Knoten: 5/8 + 3/8 = 1, 4/7 + 3/7 = 1 und 5/7 + 2/7 = 1. Die Summe beschreibt jeweils alle möglichen nächsten Ergebnisse unter derselben Voraussetzung. Alle Astbeschriftungen des gesamten Baumes zusammenzuzählen wäre dagegen keine sinnvolle Kontrolle. Sie beziehen sich auf unterschiedliche Situationen. Schreibe bei Bedarf nach Rot und nach Blau über die jeweilige Verzweigung, damit die Bedingung sichtbar bleibt.
Die Pfadregeln bei Serlo unterscheiden Produktregel, Summenregel und die Kontrolle am Knoten. Nutze diese Einteilung, um deinen eigenen Baum systematisch zu prüfen. Steht in einer anderen Aufgabe mit Zurücklegen und wird vor der nächsten Auswahl wieder gemischt, bleiben die Brüche der zweiten Stufe 5/8 und 3/8. Dann ändert sich das Modell. Es reicht nicht, nur irgendwo einen Nenner auszutauschen und den übrigen Baum ungeprüft zu übernehmen.
4. Entlang eines Pfades multiplizieren, passende Pfade addieren
Für RR rechnest du 5/8 mal 4/7. Das ergibt 20/56 oder gekürzt 5/14. Für RB erhältst du mit 5/8 mal 3/7 den Wert 15/56. Für BR ergibt 3/8 mal 5/7 ebenfalls 15/56. Für BB liefert 3/8 mal 2/7 den Bruch 6/56 beziehungsweise 3/28. Lass den gemeinsamen Nenner zunächst stehen, wenn du die vier Ergebnisse anschließend vergleichen möchtest.
Die Multiplikation folgt einem vollständigen Weg vom Start bis zum Ende. Der zweite Bruch gilt bereits unter der Voraussetzung des ersten Ergebnisses. Du behauptest damit nicht, beide Ziehungen seien unabhängig. Die Brüche 5/8 und 4/7 einfach zu addieren würde Wahrscheinlichkeiten verschiedener Stufen vermischen. Daraus entsteht nicht die Wahrscheinlichkeit für zwei rote Steine. Lies den Pfad als zusammenhängenden Satz: zuerst Rot und danach, unter dieser Bedingung, wieder Rot.
Genau ein roter Stein umfasst RB oder BR. Beide vollständigen Wege können in einem einzelnen Versuch nicht gleichzeitig eintreten. Deshalb addierst du 15/56 + 15/56 = 30/56 = 15/28. Die Summenregel gilt hier für sich ausschließende Wege. Bei anderen Beschreibungen können Ereignisse überlappen; dann würde einfaches Addieren dasselbe Ergebnis womöglich doppelt zählen. Die ausgeschriebenen Farbreihenfolgen helfen dir, diese Verwechslung rechtzeitig zu erkennen und deine Rechnung nachvollziehbar zu begründen.
5. Genau einen und mindestens einen roten Stein unterscheiden
Mindestens ein roter Stein erlaubt RR, RB und BR. Addiert ergibt das 20/56 + 15/56 + 15/56 = 50/56 = 25/28. Als zweite Methode eignet sich das Gegenereignis: Kein roter Stein bedeutet BB. Ziehe dessen Wahrscheinlichkeit von eins ab: 1 − 3/28 = 25/28. Beide Wege stimmen überein. Das ist eine hilfreiche Kontrolle, ersetzt aber nicht das sorgfältige Lesen der ursprünglichen Ziehungsbedingung.
Auch die vier vollständigen Pfade zusammen müssen eins ergeben: 20/56 + 15/56 + 15/56 + 6/56 = 56/56. Jeder Wert ist nicht negativ, und die vier geordneten Farbpaare erfassen alle Möglichkeiten. Diese Kontrolle findet etwa einen vergessenen Pfad oder einen Rechenfehler. Sie beweist nicht allein, dass jeder Ast richtig ist. Auch ein konsequent falsch aufgebauter Baum für Ziehen mit Zurücklegen kann am Ende die Summe eins haben.
Schreibe einen Antwortsatz mit Ereignis und Versuch: Die Wahrscheinlichkeit für genau einen roten Stein bei zwei Ziehungen ohne Zurücklegen beträgt 15/28. Ein bloßer Bruch lässt offen, was du berechnet hast. Rechne möglichst lange mit exakten Brüchen. Falls Dezimalzahl oder Prozent verlangt werden, runde erst zuletzt und kennzeichne die Näherung. Eine Wahrscheinlichkeit von 25/28 garantiert keinen roten Stein in einem bestimmten Versuch und keine feste Ergebnisfolge bei wenigen Wiederholungen.
6. Mit einem Hinweis die Fehlerursache finden
Angenommen, in deinem Ansatz steht RR = 25/64. Frage zuerst, welchen Versuch 5/8 mal 5/8 beschreibt. Der zweite Bruch verwendet wieder die ursprünglichen Anzahlen, als wäre der erste Stein zurückgelegt worden. Eine brauchbare Erklärung sollte diese falsche Voraussetzung benennen, statt nur das Ergebnis 5/14 auszugeben. Ersetze den zweiten Bruch durch 4/7 und ergänze den Grund: Nach einer roten Ziehung sind vier rote von sieben Steinen übrig.
Im Lirno Tutor kannst du passend zu deinem Problem einen Hinweis, eine Erklärung oder eine Kontrolle wählen. Gib deinen eigenen Ansatz und die Ziehungsbedingung mit an. Vergleiche bei einer abweichenden Antwort zuerst Startanzahlen, Rückgabe und ausgewählte Pfade. Übernimm ein Ergebnis nicht allein deshalb, weil es sicher klingt. KI kann Bilder falsch lesen und auch bei der mathematischen Begründung Fehler machen.
Lirno lässt sich kostenlos herunterladen oder starten. Manche KI-Nutzungsstufen und erweiterte Funktionen können Premium erfordern; unbegrenzte kostenlose Nutzung ist damit nicht zugesagt. Dieser Beitrag stammt von Lirno und beschreibt einen Lernablauf, keine getestete Rangliste. Die Regeln deiner Schule gelten weiterhin. Weder die App noch der Ratgeber garantieren richtige Lösungen, bestimmte Noten, sichere Beherrschung oder die Erlaubnis, KI in einer bewerteten Aufgabe einzusetzen.
7. Eine neue Aufgabe bearbeiten und nur eine Bedingung ändern
Probiere nun einen Beutel mit vier grünen und zwei gelben Steinen. Du ziehst wieder zweimal ohne Zurücklegen. Sage die Nenner voraus: zuerst sechs, danach fünf. Nach Grün bleiben drei grüne und zwei gelbe Steine. Nach Gelb liegen vier grüne und ein gelber Stein im Beutel. Decke das vorherige Beispiel ab und konstruiere diese zweite Stufe aus den tatsächlichen Restanzahlen, statt nur die Form des Baumes nachzuzeichnen.
Genau ein grüner Stein bedeutet GY oder YG. Die beiden Pfade liefern 4/6 mal 2/5 = 8/30 und 2/6 mal 4/5 = 8/30. Zusammen sind das 16/30 = 8/15. Für mindestens einen grünen Stein rechnest du über das Gegenereignis YY: 1 − (2/6 mal 1/5) = 14/15. Erkläre, warum dieser Wert größer ist: Zusätzlich zu den beiden gemischten Pfaden ist jetzt GG erlaubt. Diese Begründung gehört zum Verständnis der Aufgabe, nicht nur zur Darstellung.
Ändere anschließend ausschließlich die Anweisung zu mit Zurücklegen. Nun sind die Nenner sechs und sechs. Genau ein grüner Stein hat die Wahrscheinlichkeit 4/6 mal 2/6 + 2/6 mal 4/6 = 4/9. Benenne die geänderte Voraussetzung und erläutere, warum 8/15 nicht mehr passt. Wer eine einzelne Bedingung begründet verändern kann, hat mehr verstanden als jemand, der nur eine bekannte Lösung an anderen Farben wiedererkennt.
