Mathématiques
Devoirs : arbre de probabilités sans remise
Actualisez les effectifs après chaque tirage, choisissez les bons chemins et vérifiez un exercice original.
Un arbre de probabilités sans remise peut être très propre et représenter pourtant la mauvaise expérience. Dans les devoirs sur les tirages sans remise, l’erreur apparaît souvent avant le calcul : on recopie les mêmes fractions au deuxième niveau alors qu’un objet a déjà quitté le sac. La bonne question est donc : que reste-t-il à cet endroit précis, après le résultat indiqué sur cette branche ?
Nous allons résoudre un exercice original à deux tirages, puis montrer comment utiliser un indice, une explication ou une vérification dans Lirno pour comprendre une erreur. Tout le raisonnement peut aussi se faire sur papier. On suppose que chaque objet présent a la même chance d’être choisi et que le tirage est aléatoire. Les photographies illustrent le travail des étudiants ; elles ne représentent pas les quantités de l’énoncé. Respectez les notations et les règles de votre professeur concernant les aides autorisées.
1. Devoirs : traduire un arbre de probabilités sans remise
Notre exercice original commence avec cinq jetons rouges et trois jetons bleus dans un sac opaque. On tire deux jetons successivement, sans remettre le premier. Il faut calculer la probabilité d’obtenir deux rouges, exactement un rouge, puis au moins un rouge. Écrivez d’abord l’effectif total : huit. Notez R pour rouge et B pour bleu. Gardez l’ordre des tirages dans l’arbre, même si l’événement demandé ne distingue finalement pas les deux positions.
Sans remise signifie que le premier jeton reste hors du sac avant le deuxième tirage. Il reste donc sept objets. La couleur dont l’effectif diminue dépend du premier résultat. Les fractions calculées à partir des effectifs supposent une sélection équiprobable parmi les jetons restants. Si une personne choisit volontairement un objet visible, les seules quantités de départ ne suffisent plus à justifier le modèle. L’hypothèse doit correspondre à l’expérience décrite.
Soulignez exactement, au moins et le nombre de tirages. Exactement un rouge correspond à RB ou BR. Au moins un rouge accepte aussi RR. Écrivez les chemins favorables avant de demander une réponse à une application. Vous aurez ainsi une décision personnelle à confronter à l’explication. Une opération correcte ne répond pas au devoir si elle calcule la probabilité d’un autre événement.
2. Photographier l’énoncé complet et vérifier la lecture
Pour utiliser Lirno, photographiez l’exercice entier avec les effectifs, la consigne et tout schéma fourni. Écartez les noms, les notes et les renseignements personnels inutiles. Les mots sans remise doivent rester lisibles. Une photo limitée à la dernière question ne contient pas toutes les conditions du deuxième tirage. Si l’arbre est déjà partiellement dessiné, incluez ses étiquettes et les deux ramifications du second niveau.
Comparez ensuite l’énoncé reconnu à la feuille : cinq rouges, trois bleus, deux tirages, aucune remise. Une reconnaissance d’image peut confondre un chiffre ou oublier un mot. Corrigez l’information ou reprenez la photo avant de poursuivre. La présentation du scanner de devoirs Lirno explique cette étape de capture. Une image nette facilite la lecture, mais ne garantit pas que les conditions seront interprétées correctement.
Faites un premier essai : placez 5/8 et 3/8 sur les deux branches initiales. Demandez ensuite un indice ciblé, par exemple quelles quantités restent après un premier rouge. Cette demande garde votre raisonnement au centre du travail. Conservez vos premières annotations pour voir si l’aide corrige une hypothèse, une branche ou seulement un calcul. Ne transformez pas immédiatement une réponse proposée en devoir prêt à rendre.
3. Construire deux situations différentes au deuxième niveau
Après R, il reste quatre rouges et trois bleus. Les branches suivantes portent donc 4/7 pour R et 3/7 pour B. Après B, il reste cinq rouges et deux bleus : les probabilités deviennent 5/7 et 2/7. Ne diminuez pas le nombre de rouges après un bleu. Le total a baissé, mais aucun jeton rouge n’a été retiré sur ce chemin.
Vérifiez chaque nœud séparément : 5/8 + 3/8 = 1, puis 4/7 + 3/7 = 1, et enfin 5/7 + 2/7 = 1. À chaque fois, les branches représentent toutes les issues possibles du prochain tirage sous une même condition. Additionner toutes les étiquettes du dessin n’aurait pas ce sens, puisqu’elles appartiennent à des situations différentes. Inscrivez après rouge ou après bleu au-dessus du nœud si cela vous aide à garder la condition en tête.
Le chapitre OpenStax sur les arbres de probabilités, en anglais, compare les tirages avec et sans remise et les probabilités conditionnelles. Utilisez cette comparaison pour vérifier le modèle, puis travaillez avec les effectifs originaux de notre exercice. Avec remise et mélange avant la deuxième sélection, les fractions resteraient 5/8 et 3/8. C’est un changement de modèle, pas une simple retouche au résultat final.
4. Multiplier sur un chemin, additionner les chemins compatibles
Pour RR, calculez 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14. Pour RB, vous obtenez 5/8 × 3/7 = 15/56. Pour BR, le produit 3/8 × 5/7 donne aussi 15/56. Enfin, BB vaut 3/8 × 2/7 = 6/56 = 3/28. Garder provisoirement le dénominateur commun facilite la vérification des quatre chemins, même si vous présenterez ensuite des fractions simplifiées.
Le produit suit une suite complète de résultats. La probabilité de la deuxième branche est déjà conditionnée par le premier tirage ; vous ne supposez donc pas l’indépendance des sélections. Additionner 5/8 et 4/7 mélangerait deux niveaux et ne donnerait pas la probabilité de deux rouges. Lisez le chemin comme une phrase : obtenir rouge, puis rouge parmi les objets qui restent dans cette situation.
Exactement un rouge correspond à RB ou BR. Ces deux chemins complets ne peuvent pas se réaliser simultanément dans une même expérience. On additionne donc 15/56 + 15/56 = 30/56 = 15/28. Le mot ou mérite néanmoins attention : l’addition directe fonctionne ici parce que les chemins sont incompatibles. Si deux descriptions se recouvrent, elle peut compter deux fois la même issue. Lister les suites de couleurs vous aide à voir précisément ce qui est additionné.
5. Distinguer exactement un rouge et au moins un rouge
Au moins un rouge accepte RR, RB et BR. Le total est 20/56 + 15/56 + 15/56 = 50/56 = 25/28. Une autre méthode utilise l’événement contraire : aucun rouge signifie BB. On obtient alors 1 − 3/28 = 25/28. Les deux méthodes concordent. Cette concordance est utile, mais elle ne remplace pas la vérification de la consigne : deux raisonnements peuvent partager la même mauvaise hypothèse de départ.
Additionnez aussi les quatre chemins complets : 20/56 + 15/56 + 15/56 + 6/56 = 56/56. Toutes les probabilités sont positives ou nulles et couvrent les quatre couples ordonnés de couleurs. Ce contrôle peut révéler un oubli ou une erreur de calcul. Il ne prouve pas à lui seul que chaque branche est correcte : un arbre construit de manière cohérente pour une expérience avec remise peut lui aussi donner un total égal à un.
Terminez par une phrase associant événement et expérience : la probabilité d’exactement un rouge en deux tirages sans remise est 15/28. Conservez les fractions exactes jusqu’à une éventuelle demande de décimales ou de pourcentage. Arrondissez seulement à la fin et signalez l’approximation. Une probabilité de 25/28 ne garantit pas un rouge lors d’un essai précis et n’impose pas une succession régulière de résultats dans une courte série.
6. Demander une vérification qui explique l’erreur
Supposons que votre première réponse soit RR = 25/64. Cherchez quelle expérience représente 5/8 × 5/8. Le deuxième facteur reprend les quantités initiales, comme si le premier jeton avait été remis. Une explication utile doit identifier cette hypothèse au lieu d’annoncer seulement 5/14. Remplacez le deuxième facteur par 4/7 et notez la raison : après un rouge, il reste quatre rouges parmi sept jetons.
Dans Lirno Tutor, choisissez un indice, une explication ou une vérification selon l’endroit où vous bloquez. Fournissez votre tentative et la condition de remise. Si la réponse diffère de la vôtre, comparez les effectifs de départ, les branches et les chemins favorables avant de l’accepter. Une IA peut mal lire l’image ou commettre une erreur de raisonnement, même avec une formulation convaincante.
Lirno peut être téléchargé ou commencé gratuitement. Certains niveaux d’utilisation de l’IA ou certaines fonctions avancées peuvent nécessiter Premium ; cela ne signifie pas une aide gratuite illimitée. Cet article est publié par Lirno et présente une démarche de travail, pas un classement issu de tests. Les règles scolaires restent applicables. Ni l’application ni le guide ne garantissent l’exactitude, les notes, la maîtrise ou l’autorisation d’utiliser l’IA dans une évaluation.
7. Refaire un exercice puis changer une seule condition
Prenez maintenant un sac contenant quatre jetons verts et deux jaunes. Effectuez deux tirages sans remise. Prévoyez les dénominateurs : six, puis cinq. Après vert, il reste trois verts et deux jaunes. Après jaune, il reste quatre verts et un jaune. Cachez l’exemple précédent et reconstruisez ces branches à partir des objets restants. Le but n’est pas de recopier une forme d’arbre en remplaçant quelques couleurs.
Exactement un vert correspond à VJ ou JV. Les produits donnent 4/6 × 2/5 = 8/30 et 2/6 × 4/5 = 8/30. La somme vaut 16/30 = 8/15. Pour au moins un vert, utilisez l’événement contraire JJ : 1 − (2/6 × 1/5) = 14/15. Expliquez pourquoi cette probabilité est plus grande : elle accepte également VV. Si cette inclusion n’est pas claire, reprenez la formulation avant de chercher à accélérer les calculs.
Changez enfin une seule condition : on remet le premier jeton et on mélange. Les dénominateurs sont maintenant six et six. Exactement un vert devient 4/6 × 2/6 + 2/6 × 4/6 = 4/9. Indiquez l’hypothèse modifiée et pourquoi 8/15 ne convient plus. Savoir adapter un raisonnement à ce changement apporte une meilleure preuve de compréhension que reconnaître une réponse déjà vue dans un exercice presque identique.
