Sannolikhet och provträning
Träddiagram utan återläggning: räkna det som finns kvar
Rita ett träd för två dragningar, uppdatera antalet föremål och välj alla vägar som svarar på frågan.
I en påse ligger fem orange och tre blå spelbrickor. Du drar två efter varandra och låter den första ligga kvar utanför påsen. Hur stor är sannolikheten att få exakt en orange? Själva beräkningen är kort, men den andra dragningen sker inte från samma innehåll som den första. Med ett träddiagram utan återläggning kan du följa vad som återstår efter varje möjlig första färg, i stället för att använda ursprungliga bråk i alla grenar.
Här löser vi den påhittade uppgiften från frågans ord till kontrollen av svaret. Vi antar att brickorna är lika utom färgen, att påsen är ogenomskinlig och blandad och att varje kvarvarande bricka har samma chans att dras. Du behöver bara papper och penna. Den viktiga färdigheten är att välja rätt vägar: orange följt av blå är bara ett sätt att få en av varje. Varje gren ska motsvara ett möjligt resultat och varje bråk ska gå att motivera.
1. Läs villkoren innan du ritar trädet
Skriv upp innehållet från början, antalet dragningar och om föremålet läggs tillbaka. Här är innehållet fem orange och tre blå, totalt åtta. Vi gör två dragningar utan återläggning. Ringa in exakt en orange. Byt inte omedvetet ut det mot första orange eller minst en orange, eftersom frågorna väljer olika slutresultat. Ha uppgiftens formulering bredvid lösningen även när du börjar räkna. Då kan du kontrollera att din sista mening fortfarande svarar på samma fråga.
Undersök också vad slumpmässigt urval betyder. Om brickorna har olika storlek eller om du tittar i påsen när du väljer, kanske modellen med lika chanser inte passar. I en skoluppgift använder du de givna eller avsedda antagandena. I ett verkligt försök beskriver du hur urvalet görs. För ett träddiagram utan återläggning kan Mattecentrums genomgång av träddiagram användas som begreppsstöd. Våra antal och frågor nedan är egna övningsexempel, inte avskrivna svar från en befintlig uppgift.
2. Rita första nivån i ett träddiagram utan återläggning
Gör en startpunkt till vänster och två grenar åt höger. Märk den första O för orange och den andra B för blå. Sannolikheterna är 5/8 respektive 3/8. Tillsammans täcker färgerna alla möjliga första resultat, så sannolikheterna ska summeras till ett. En gren avser en färgkategori, inte en särskild bricka. Fem olika brickor hör till O, även om färgen visas med en enda gren i bilden. Skriv bråken vid grenarna, inte bara i marginalen.
Lämna plats för två nya grenar efter vart och ett av de första resultaten. Vid två dragningar finns fyra fullständiga färgföljder: OO, OB, BO och BB. Skriv följden vid varje slutpunkt. Ordningen finns kvar i trädet även när slutfrågan inte bryr sig om den. Det hjälper dig att inte glömma BO när frågan är en orange och en blå. Använd bokstäver tillsammans med färg om du färglägger grenarna, så att lösningen går att läsa även utan färgerna.
3. Räkna om både täljare och nämnare
Om den första brickan är orange lämnas den utanför påsen. Då återstår fyra orange och tre blå, alltså sju totalt. Nästa O-gren får sannolikheten 4/7 och nästa B-gren 3/7. Om den första i stället är blå återstår fem orange och två blå. På den sidan av trädet är de andra sannolikheterna 5/7 och 2/7. Skriv gärna det kvarvarande innehållet vid varje förgrening innan du skriver bråken. Det gör villkoret för varje andra dragning synligt.
Alla nämnare på andra nivån är sju, men täljarna beror på den första färgen. Att bara minska nämnaren räcker inte: den dragna färgen måste också minska med en. Minskar du båda färgerna tar du bort två brickor trots att du bara dragit en. Kontrollera vid varje punkt att de utgående grenarna summeras till ett: 4/7 + 3/7 och 5/7 + 2/7 gör det. Detta är lokala kontroller. Alla sex grenarnas tal ska inte läggas ihop till en gemensam summa.
4. Multiplicera längs en fullständig väg
För OO är sannolikheten först 5/8 och sedan 4/7, under villkoret att den första var orange. Produkten blir 20/56, som förenklas till 5/14. För OB får du 5/8 × 3/7 = 15/56. För BO blir det 3/8 × 5/7 = 15/56. För BB blir det 3/8 × 2/7 = 6/56, eller 3/28. Skriv de fyra produkterna vid sina slutpunkter så att varje sannolikhet har en tydlig färgföljd kopplad till sig.
Multiplikationen använder den andra sannolikheten som gäller just den vägen. Den innebär inte att dragningarna är oberoende. Ett vanligt fel är att skriva 5/8 × 5/8 för OO bara för att båda färgerna ska vara orange. Utan återläggning ändrar den första orange innehållet. Läs produkten som först orange och sedan orange ur det som återstår. Säg meningen högt innan du förenklar bråket. Då kan du lättare upptäcka att du valt en felaktig andra gren än genom att bara titta på räknarens svar.
5. Exakt en orange kan komma i två ordningar
Exakt en orange motsvarar OB eller BO. Det är skilda fullständiga utfall: samma försök med två dragningar kan inte vara båda samtidigt. Addera sannolikheterna: 15/56 + 15/56 = 30/56 = 15/28. Det är ungefär 0,536, alltså 53,6 procent. Skriv också vilken händelse svaret gäller: sannolikheten för exakt en orange vid två dragningar utan återläggning är 15/28. Ett ensamt bråk visar inte om du har svarat på exakt en eller på en bestämd ordning.
Multiplicera inte de två hela vägarnas sannolikheter med varandra. De är alternativ, inte nya steg i samma försök. Dubbla inte heller en väg av vana. OB och BO råkar vara lika sannolika här, men andra flerstegsförsök kan ha olika sannolikheter för alternativa vägar. Välj först alla passande slutpunkter, beräkna varje väg och lägg därefter ihop resultaten. Om instruktionen uttryckligen säger orange först och blå sedan passar endast OB. Då är svaret 15/56 och inte 15/28.
6. Minst en blir enkelt med komplementet
Minst en orange omfattar OO, OB och BO. Summan är (20 + 15 + 15)/56 = 50/56 = 25/28. Ett kortare sätt är att använda den enda uteslutna följden BB. Dess sannolikhet är 6/56, så svaret blir 1 − 6/56 = 25/28, ungefär 89,3 procent. Skriv ingen orange bredvid subtraktionen. Då är det tydligt varför just den sannolikheten dras från ett och inte från ett annat bråk i trädet.
Exakt en och minst en är olika händelser. Exakt en utesluter OO, medan minst en inkluderar OO. Läs uttrycken noga på provet, särskilt när nästa deluppgift bara ändrar ett ord. Ett komplement fungerar när din händelse och dess motsats täcker alla utfall utan överlappning. Om frågan dessutom ger ett villkor, till exempel en känd första färg, måste du först avgränsa de möjliga utfallen under det villkoret. Dra inte en sannolikhet från hela försöket från ett bara för att det ser bekvämt ut.
7. Kontrollera hela trädet med två sätt
De fyra slutpunkternas sannolikheter ska summeras till ett: 20/56 + 15/56 + 15/56 + 6/56 = 56/56. Om du har glömt ett slutresultat, räknat samma väg två gånger eller använt fel antal kan kontrollen avslöja det. En korrekt summa bevisar dock inte att varje etikett är rätt; fel kan ibland ta ut varandra. Gå därför tillbaka till innehållet vid varje förgrening. Kontrollera även att slutsvaret ligger mellan noll och ett och gäller den namngivna händelsen.
Du kan kontrollera på ett annat sätt genom att tänka dig numrerade brickor. Det finns 8 × 7 = 56 ordnade par utan återläggning. För exakt en orange finns 5 × 3 par med orange följt av blå och 3 × 5 med blå följt av orange. Det ger 30 gynnsamma par av 56 och samma svar som trädet. Räknesättet förutsätter lika sannolika enskilda brickor. I våra andra studieguider kan du jämföra hur man gör modellens antaganden tydliga innan man drar en slutsats.
8. Ändra återläggningen och jämför försöken
Lägg nu tillbaka den första brickan och blanda före den andra dragningen. Alla andra grenar återgår till 5/8 för orange och 3/8 för blå, eftersom det ursprungliga innehållet återställs. Exakt en orange blir 5/8 × 3/8 + 3/8 × 5/8 = 30/64 = 15/32. Jämför med 15/28 utan återläggning. Svaren skiljer sig därför att försöken är olika. Man kan inte välja den nämnare som är lättast att räkna med och ändå beskriva samma situation.
Har du egna brickor kan du genomföra några försök av varje typ. Blanda inte ihop resultaten från de två procedurerna. En liten serie kommer inte nödvändigtvis att ge exakt den teoretiska andelen. Skriv vad som faktiskt hände och ändra inte resultat för att de ska passa beräkningen. Försöket illustrerar modellen men ersätter inte beräkningen. Prova också fyra orange och två blå utan återläggning: exakt en orange blir 4/6 × 2/5 + 2/6 × 4/5 = 16/30 = 8/15.
9. Öva på besluten och granska digital hjälp
Täck över lösningens bråk och rita om ursprungsträdet. Berätta vad som återstår efter O respektive B och lös två frågor med olika formuleringar. Om du kör fast, bestäm om problemet gäller innehåll, val av vägar eller själva räkningen. Spara ett korrigerat exempel med en kort motivering. Lirnos övningsflöde för studier kan hjälpa dig att använda en kontrollerad idé i en ny övning, men metoden på papper räcker för att lösa den här uppgiften självständigt.
Om du ber AI att granska en fotograferad uppgift ska du först kontrollera antal, återläggningsregel och frågans ord. AI kan läsa fel eller resonera fel. Jämför därför förklaringen med inventeringen och det fullständiga trädet. Skolans regler gäller fortfarande, och Lirno garanterar inte korrekta svar, betyg, kunskapsbehärskning eller tillåtelse att lämna in arbete med hjälp. Avsluta med en egen motivering som nämner det ändrade innehållet och de valda vägarna. Ett bra svar visar varför beräkningen passar försöket, inte bara vad talet blev.
Bra att veta
Frågor om den här guiden
Vad ändras i ett träddiagram utan återläggning?
Det dragna föremålet tas bort. Räkna om totalen och varje färg efter varje möjlig dragning; nästa sannolikhet beror på det tidigare resultatet.
När ska jag multiplicera och när ska jag addera?
Multiplicera längs en fullständig väg. Addera sannolikheterna för skilda fullständiga vägar som passar frågan.
Betyder exakt en samma sak som minst en?
Nej. Vid två dragningar utesluter exakt en två träffar, medan minst en inkluderar både en och två. Välj slutpunkterna efter formuleringen.
Varför ger mina försök inte samma andel som beräkningen?
Små slumpmässiga urval varierar. Kontrollera proceduren och redovisa de verkliga resultaten utan att anpassa dem till teorin.