Sandsynlighed og prøveforberedelse
Trædiagram uden tilbagelægning: hvad er tilbage?
Tegn de to træk, opdater antallet ved hver forgrening, og skeln mellem én rækkefølge og alle de udfald, spørgsmålet omfatter.
En pose indeholder fem orange og tre blå brikker. Du trækker to efter hinanden og lader den første ligge uden for posen. Hvad er sandsynligheden for at få præcis én orange? Regnestykket er kort, men andet træk foregår ikke fra samme indhold som det første. Et trædiagram uden tilbagelægning hjælper dig med at holde styr på, hvad der er tilbage efter hver mulig første farve, så du ikke automatisk gentager de oprindelige brøker.
Vi løser denne opdigtede opgave fra ordlyden til den sidste kontrol. Vi antager, at brikkerne er ens bortset fra farven, at posen er uigennemsigtig og godt blandet, og at hver tilbageværende brik har samme chance for at blive valgt. Du kan følge fremgangsmåden på papir uden en app. Det afgørende er at vælge de rigtige veje: orange efterfulgt af blå er kun én måde at få en af hver. Hver gren skal beskrive et muligt resultat, og hver brøk skal have en begrundelse.
1. Læs forsøgets regler før du tegner
Skriv startindholdet, antal træk og reglen om tilbagelægning. Her er der fem orange og tre blå brikker, altså otte i alt. Der trækkes to gange uden tilbagelægning. Sæt ring om præcis én orange. Erstat ikke ordene med første orange eller mindst én orange, for de spørgsmål omfatter forskellige slutudfald. Behold den oprindelige formulering ved siden af beregningen. Når du er færdig, skal både din brøk og den forklarende sætning stadig svare på det samme spørgsmål.
Overvej også, hvad tilfældig udvælgelse betyder. Hvis brikkerne har forskellige størrelser, eller hvis du kigger ned i posen, passer den enkle model med lige chancer måske ikke. I en skoleopgave bruger du de angivne eller tilsigtede antagelser; ved et virkeligt forsøg beskriver du udvælgelsen. Til et trædiagram uden tilbagelægning giver SDU's undervisningsnoter om statistik og sandsynlighed et fagligt opslag om blandt andet trædiagrammer. Antallene og øvelserne i denne artikel er vores egne undervisningseksempler, ikke et kopieret facit.
2. Byg første niveau i et trædiagram uden tilbagelægning
Sæt et startpunkt til venstre og tegn to grene mod højre. Mærk den ene O for orange og den anden B for blå. Sandsynlighederne er 5/8 og 3/8. De to farver omfatter alle mulige første resultater, så deres sandsynligheder skal give én tilsammen. En gren beskriver en farvegruppe, ikke en bestemt brik. Fem forskellige brikker hører til O-grenen, selv om gruppen kun vises med én streg. Skriv brøken direkte ved den tilhørende gren.
Giv plads til endnu to grene efter hvert første resultat. Et træ for to træk har fire fuldstændige farvefølger: OO, OB, BO og BB. Skriv følgen ved hvert endepunkt. Træet bevarer rækkefølgen, selv hvis det sidste spørgsmål ikke interesserer sig for den. Det forhindrer, at du glemmer BO, når der spørges om en orange og en blå. Hvis du farvelægger stregerne, skal du også skrive bogstaver, så løsningen kan forstås uden at skelne farverne.
3. Opdater både tæller og nævner
Efter en orange brik i første træk ligger denne brik uden for posen. Der er nu fire orange og tre blå tilbage, i alt syv. Næste O-gren har derfor sandsynligheden 4/7, mens næste B-gren har 3/7. Efter en blå i første træk er der fem orange og to blå tilbage. På den side af træet er de næste sandsynligheder 5/7 og 2/7. Skriv det tilbageværende indhold ved hver forgrening, før du skriver de to brøker.
Alle nævnere på andet niveau er syv, men tællerne afhænger af den første farve. Det er ikke nok kun at mindske nævneren: antallet af den udtrukne farve falder også med én. Hvis du mindsker begge farver, fjerner du to brikker, selv om der kun er trukket én. Kontroller hvert sted, at de udgående sandsynligheder giver én: 4/7 + 3/7 og 5/7 + 2/7 gør det. Det er lokale kontroller. Alle seks brøker på træets grene skal ikke lægges sammen til én samlet sandsynlighed.
4. Gang langs én fuldstændig vej
For OO er første sandsynlighed 5/8 og den anden 4/7, når den første allerede var orange. Produktet er 20/56, som kan forkortes til 5/14. For OB bliver det 5/8 × 3/7 = 15/56. For BO får du 3/8 × 5/7 = 15/56. For BB er det 3/8 × 2/7 = 6/56, eller 3/28. Sæt de fire sandsynligheder ved endepunkterne sammen med deres fulde farvefølge. Så kan du se, hvilken hændelse hvert tal tilhører.
Du bruger den anden sandsynlighed, der passer til netop den vej. Multiplikationen kræver ikke, at de to træk er uafhængige. En typisk fejl er 5/8 × 5/8 for OO, fordi begge træk skal være orange. Uden tilbagelægning ændrer første orange indholdet. Læs produktet som først orange og derefter orange fra det, der er tilbage. Sig den forklaring højt, før du forkorter. Den afslører et forkert andet trin bedre end et korrekt indtastet regnestykke på lommeregneren gør.
5. Præcis én orange kræver to rækkefølger
Præcis én orange betyder OB eller BO. De er forskellige fuldstændige udfald: ét forsøg med to træk kan ikke være begge på samme tid. Læg deres sandsynligheder sammen: 15/56 + 15/56 = 30/56 = 15/28. Det svarer til cirka 0,536 eller 53,6 procent. Skriv også hændelsen i svaret: sandsynligheden for præcis én orange ved to træk uden tilbagelægning er 15/28. En brøk alene fortæller ikke, om du har beregnet en bestemt rækkefølge eller alle relevante udfald.
Gang ikke de to hele vejes sandsynligheder med hinanden. De er alternativer, ikke to yderligere trin i samme forsøg. Undgå også at fordoble én vej af vane. OB og BO er lige sandsynlige her, men andre forsøg med flere trin kan have forskellige sandsynligheder for de alternative veje. Find alle de rigtige endepunkter, beregn hver vej og læg derefter sammen. Hvis spørgsmålet udtrykkeligt kræver orange først og blå bagefter, er kun OB relevant. Så er svaret 15/56, ikke 15/28.
6. Mindst én kan findes via den modsatte hændelse
Mindst én orange omfatter OO, OB og BO. Du kan lægge dem sammen: (20 + 15 + 15)/56 = 50/56 = 25/28. En kortere vej er at se, at kun BB er udelukket. Den sandsynlighed er 6/56, så svaret bliver 1 − 6/56 = 25/28, cirka 89,3 procent. Skriv ingen orange ved subtraktionen, så den komplementære hændelse er tydelig. Dermed viser du, hvorfor det netop er sandsynligheden for to blå, der skal trækkes fra én.
Præcis én og mindst én er ikke samme hændelse. Præcis én udelukker OO; mindst én tager OO med. Læs disse ord omhyggeligt ved en prøve, især når næste delspørgsmål kun ændrer ét ord. Komplementmetoden virker, når hændelsen og dens modsætning omfatter alle udfald uden overlap. Hvis der gives en ekstra betingelse, eksempelvis en kendt første farve, skal du først afgøre, hvilke udfald der stadig er mulige under den betingelse. Træk ikke en uvedkommende sandsynlighed fra én, bare fordi det ser nemt ud.
7. Kontroller hele træet på to måder
Alle fire endepunkter skal give én tilsammen: 20/56 + 15/56 + 15/56 + 6/56 = 56/56. Kontrollen kan afsløre et manglende slutudfald, en vej der er talt to gange, eller et forkert antal tilbageværende brikker. En korrekt sum beviser dog ikke, at alle etiketter er rigtige; fejl kan nogle gange ophæve hinanden. Gå derfor tilbage til hvert forgreningspunkt og tjek indholdet. Se også efter, at slutsvaret ligger mellem nul og én og gælder den hændelse, du navngiver.
En anden kontrol bruger de enkelte brikker. Forestil dig, at alle otte er nummererede. Der er 8 × 7 = 56 ordnede par uden tilbagelægning. For præcis én orange findes 5 × 3 par med orange efterfulgt af blå og 3 × 5 med blå efterfulgt af orange. Det giver 30 gunstige par ud af 56, i overensstemmelse med træet. Denne optælling forudsætter lige sandsynlige enkeltbrikker. I de øvrige studievejledninger kan du sammenligne, hvordan en matematisk models antagelser gøres synlige før en konklusion.
8. Skift reglen og undersøg forskellen
Læg nu den første brik tilbage og bland før andet træk. Alle anden-grene har igen 5/8 for orange og 3/8 for blå, fordi det oprindelige indhold er genskabt. Præcis én orange bliver 5/8 × 3/8 + 3/8 × 5/8 = 30/64 = 15/32. Sammenlign med 15/28 uden tilbagelægning. Svarene er forskellige, fordi forsøget er ændret, ikke fordi den ene regel er en genvej til den anden. Du kan ikke vælge den mest bekvemme nævner og stadig beskrive samme proces.
Har du brikker, kan du gennemføre nogle få forsøg af hver type. Hold resultaterne fra de to procedurer adskilt. Et lille antal forsøg vil ikke nødvendigvis ramme den teoretiske andel. Noter det, der faktisk skete, uden at ændre data, så de passer til teorien. Simulation illustrerer modellen, men erstatter ikke dens beregning. Prøv derefter fire orange og to blå uden tilbagelægning. Præcis én orange er nu 4/6 × 2/5 + 2/6 × 4/5 = 16/30 = 8/15. Forklar, hvilke nye antal hvert brøkled viser.
9. Øv beslutningerne og vurder digital hjælp
Dæk de udregnede brøker og tegn det oprindelige træ igen. Forklar, hvad der er tilbage efter O og efter B, og løs to spørgsmål med forskellig ordlyd. Hvis du går i stå, afgør om det skyldes indholdet, valg af veje eller regningen. Gem ét rettet eksempel med en begrundelse. Lirnos arbejdsgang til studieøvelser kan hjælpe med at bruge en kontrolleret idé i en ny øvelse, men papirfremgangsmåden er nok til at løse dette problem selvstændigt. Du behøver ikke appens svar for at finde de fire veje.
Hvis du beder AI gennemgå et foto, skal du først kontrollere antallene, reglen om tilbagelægning og spørgsmålets formulering. AI kan læse forkert eller ræsonnere forkert. Sammenhold derfor forklaringen med din optælling og det fulde træ. Skolens regler gælder stadig, og Lirno garanterer ikke korrekte svar, karakterer, beherskelse eller tilladelse til at aflevere arbejde med hjælp. Slut med din egen korte begrundelse, som nævner det ændrede indhold og de valgte veje. Svaret skal vise, hvorfor beregningen passer til forsøget, ikke blot vise et tal.
Good to know
Spørgsmål om denne guide
Hvad ændres i et trædiagram uden tilbagelægning?
Den udtrukne brik fjernes. Tæl totalen og hver farve igen efter hvert muligt træk; næste sandsynlighed afhænger af det tidligere resultat.
Hvornår ganger jeg, og hvornår lægger jeg sammen?
Gang langs én fuldstændig vej. Læg sandsynlighederne for forskellige fuldstændige veje sammen, når de alle passer til spørgsmålet.
Er præcis én og mindst én det samme?
Nej. Ved to træk udelukker præcis én to træffere, mens mindst én omfatter både én og to. Vælg endepunkterne ud fra ordlyden.
Hvorfor afviger mine forsøg fra den beregnede sandsynlighed?
Små tilfældige stikprøver varierer. Kontroller proceduren, og skriv de virkelige resultater uden at tilpasse dem til den teoretiske andel.