Algebra-Hausaufgaben
Klammern auflösen: Hausaufgaben mit Minuszeichen
Multipliziere den vollständigen Faktor mit jedem Summanden, fasse Gleichartiges zusammen und prüfe deine Rechenzeile.
Klammern auflösen kann bei Hausaufgaben auch dann schiefgehen, wenn du das Einmaleins beherrschst. Der Faktor erreicht nur den ersten Summanden, ein Minuszeichen verschwindet oder ungleichartige Terme werden zusammengefasst. Schreibe deshalb zuerst auf, welcher Faktor mit welchem Summanden multipliziert wird. Eine nachvollziehbare Zwischenzeile hilft mehr als ein ordentlich aussehendes Ergebnis ohne Begründung.
Hier bearbeitest du eine konkrete Aufgabe: Multipliziere 4(2x − 3) − 2(x + 5) aus und fasse zusammen. Alle Beispiele sind eigens erstellte Übungsaufgaben. Du machst einen eigenen Versuch, kontrollierst den vollständigen Term und verwendest einen Lirno-Hinweis nur, wenn die Schulregeln das erlauben. Die Bilder zeigen Lernsituationen ohne Musterlösungen. Für deine Abgabe bleiben die verlangte Schreibweise und der vorgeschriebene Rechenweg maßgeblich.
1. Klammern auflösen beginnt beim Erkennen des Produkts
In 4(2x − 3) multipliziert die 4 den gesamten Klammerinhalt. Das Distributivgesetz macht daraus 4 × 2x + 4 × (−3), also 8x − 12. Wenn du die Summanden jeweils mit ihrem Vorzeichen betrachtest, lässt sich die Subtraktion leichter verfolgen. Du veränderst die Form des Terms und erhältst seinen Wert für jeden zulässigen Wert von x.
Vergleiche 4(2x − 3) mit 4 × 2x − 3. Im zweiten Term wird nur 2x mit 4 multipliziert. Er ist deshalb keine andere Schreibweise des ersten Terms. Für x = 0 ergibt der erste Term −12, der zweite dagegen −3. Diese kurze Probe macht die fehlende Multiplikation sichtbar, ohne dass du eine Gleichung lösen musst.
Die Erklärung der TU Dortmund zu Termumformungen bietet eine fachliche Referenz zum Distributivgesetz. Prüfe dort die Regel und bearbeite anschließend das eigene Beispiel hier. Ausmultiplizieren bedeutet eine Formänderung. Wenn keine zu lösende Gleichung gegeben ist, darfst du nicht einfach „gleich null“ ergänzen oder einen einzelnen Wert für die Variable als Ergebnis nennen.
2. Erfasse die vollständige Aufgabe vor jeder Nachfrage
Schreibe die Aufgabe auf Papier und versuche zuerst selbst, die Klammern aufzulösen. Halte die Anweisung „ausmultiplizieren und zusammenfassen“, beide Klammern, alle Vorzeichen und deinen Rechenweg fest. Ein Foto, auf dem der Faktor vor einer Klammer fehlt, kann zu einer passenden Erklärung für den erkannten Text führen, die trotzdem nicht zu deiner tatsächlichen Aufgabe gehört.
Wenn deine Schule Lirno erlaubt, kannst du mit der Erfassung von Hausaufgaben den vollständigen Ausschnitt aufnehmen. Vergleiche den erkannten Term Zeichen für Zeichen mit dem Blatt: zuerst 4 und die Klammer mit 2x minus 3, anschließend minus 2 als Faktor vor der zweiten Klammer. Achte darauf, dass x nicht als Malzeichen und ein kleines Minus nicht als Strich oder gar nicht erkannt wurde.
Rechne mit einer fehlerhaften Abschrift nicht weiter. Verbessere die Erfassung oder schreibe den Term deutlich auf, bevor du eine mathematische Frage stellst. Namen, Noten und Angaben anderer Personen gehören nicht ins Bild. Lade keine geschützte Prüfungsaufgabe hoch. Ist das Fotografieren nicht erlaubt, arbeite auf Papier weiter und frage die Lehrkraft. Die Verfügbarkeit einer App ersetzt keine schulische Erlaubnis.
3. Nimm das Minuszeichen in den Faktor auf
Der zweite Teil der Aufgabe lautet −2(x + 5). Betrachte −2 als vollständigen äußeren Faktor. Seine Produkte sind (−2) × x und (−2) × 5; daraus entsteht −2x − 10. In der häufigen falschen Zeile −2x + 10 hat das zweite Produkt das negative Vorzeichen seines Faktors verloren. Beide Summanden müssen jedoch mit derselben negativen Zahl multipliziert werden.
Ein einzelnes Minus vor einer Klammer steht für den unsichtbaren Faktor −1. Deshalb wird −(3a − 5) zu −3a + 5: Das Produkt (−1) × (−5) ist positiv. Multipliziere nicht erst mit −1 und ändere danach noch einmal alle Vorzeichen. Damit würdest du dieselbe Wirkung doppelt anwenden und einen anderen Term erhalten.
Bei Unsicherheit hilft eine vollständige Zwischenzeile. Schreibe für −3(2y − 4) zunächst (−3) × 2y + (−3) × (−4), dann −6y + 12. Für y = 1 ergibt der Ausgangsterm −3 × (−2) = 6, ebenso das Ergebnis. Die Zwischenzeile zeigt, woher die positive Konstante stammt. Sie ist eine Erklärung des Rechenwegs und keine bloße Verzierung.
4. Multipliziere zuerst aus und fasse danach zusammen
Für die vollständige Aufgabe erhältst du zunächst 4(2x − 3) − 2(x + 5) = 8x − 12 − 2x − 10. Fasse erst zusammen, nachdem beide Produkte vollständig aufgeschrieben sind. Die Variablenterme 8x und −2x ergeben 6x. Die Konstanten −12 und −10 ergeben −22. Der vereinfachte Term lautet somit 6x − 22.
Die Bestandteile 6x und −22 lassen sich nicht zu −16x oder einem ähnlichen einzelnen Term verbinden. Ihre Variablenanteile unterscheiden sich. Vergleiche x = 0 und x = 1: Der Term 6x − 22 liefert −22 beziehungsweise −16. Dagegen liefert −16x die Werte 0 beziehungsweise −16. Eine Probe nur mit x = 1 würde diesen Fehler also verdecken.
Lass beim Umordnen jedes Vorzeichen bei seinem Summanden. Aus 8x − 12 − 2x − 10 darfst du 8x − 2x − 12 − 10 machen, weil die vorzeichenbehafteten Summanden gleich bleiben. Eine Subtraktion wird nicht allein dadurch zur Addition, dass du sie an eine andere Stelle schreibst. Hier wird keine Gleichungsseite gewechselt; du ordnest einen Term neu.
5. Frage nach dem ersten unsicheren Produkt
Bitte nicht sofort um die ganze Lösung. Eine gezielte Frage lautet etwa: „Welches Produkt sollte ich in meiner Zeile 8x − 12 − 2x + 10 prüfen? Gib mir einen Hinweis, ohne alles fertig zusammenzufassen.“ So bleibt dein Versuch sichtbar, und die Erklärung kann sich auf den Vorzeichenfehler beschränken. Ob die Antwort zur ursprünglichen Aufgabe passt, musst du weiterhin kontrollieren.
Der Erklärungsweg mit Lirno Tutor kann dich dabei unterstützen, wenn die Nutzung erlaubt ist. Lies den Hinweis, bestimme den genannten Faktor und Summanden und schreibe die Zeile selbst neu. Springt die Antwort direkt zum Ergebnis, frage nach, weshalb das Produkt aus −2 und +5 negativ ist. Vergleiche die Begründung mit der Regel aus deinem Unterricht.
KI kann Zeichen falsch erkennen und fehlerhaft rechnen oder argumentieren. Eine flüssige Erklärung ersetzt keine mathematische Kontrolle. Lirno garantiert weder Richtigkeit noch Noten, Beherrschung oder Erlaubnis. Die App ist kostenlos herunterzuladen beziehungsweise zu starten; bestimmte KI-Nutzungsstufen oder erweiterte Funktionen können Premium erfordern. Nutze Unterstützung, um einen Schritt selbst erklären zu können, nicht um fremde Arbeit als eigene auszugeben oder Regeln zu umgehen.
6. Prüfe mit eingesetzten Zahlen, ohne daraus einen Beweis zu machen
Berechne den ursprünglichen und den vereinfachten Term getrennt. Für x = 0 ergibt der Ausgangsterm 4(−3) − 2(5) = −12 − 10 = −22. Auch 6x − 22 ergibt −22. Für x = 3 lautet die ursprüngliche Rechnung 4(3) − 2(8) = 12 − 16 = −4; der Term 6 × 3 − 22 liefert ebenfalls −4.
Unterschiedliche Ergebnisse zeigen, dass die vorgeschlagenen Formen beim geprüften Wert nicht gleich sind. Gleiche Ergebnisse bei einem oder zwei Werten beweisen dagegen keine Gleichheit für alle Werte. Dafür brauchst du die gültigen Schritte des Distributivgesetzes und des Zusammenfassens. Die Zahlenprobe dient daneben als Fehlersuche, etwa mit null, einer negativen Zahl oder einem Wert, bei dem eine Klammer null wird.
Setze nicht zweimal in dieselbe fehlerhafte Abschrift ein und nenne das eine unabhängige Kontrolle. Lies den Ausgangsterm direkt von der Aufgabe und das Ergebnis aus deinem Rechenweg ab. Misslingt die Probe, vergleiche die einzelnen Produkte, bevor du die ganze Seite neu rechnest. Auch auf Papier kannst du so den ersten falschen Schritt eingrenzen, statt ohne Diagnose von vorne zu beginnen. Markiere dabei den ersten Unterschied mit einem kurzen Kommentar. So bleibt sichtbar, welche Regel du beim nächsten Versuch bewusst anwenden möchtest, ohne sämtliche bereits richtigen Schritte erneut abschreiben zu müssen.
7. Behalte bei verschachtelten Klammern die Gruppen im Blick
Bei einem verschachtelten Term muss die Gruppierung erhalten bleiben. In 2[3x − (x − 4)] bearbeitest du zuerst die innere Subtraktion: 3x − x + 4 = 2x + 4. Danach multiplizierst du die äußere Klammer mit 2 und erhältst 4x + 8. Auch eine andere Reihenfolge kann funktionieren, wenn sämtliche Gruppen und Vorzeichen korrekt erhalten bleiben.
Ein Faktor mit Variable wird ebenfalls mit jedem Summanden multipliziert. Für 2x(x − 3) lauten die Produkte 2x × x = 2x² und 2x × (−3) = −6x. Das Ergebnis ist 2x² − 6x und nicht 2x − 6. Wegen der unterschiedlichen Potenzen sind die beiden Summanden ungleichartig. Ihre Koeffizienten dürfen nicht wie bei zwei einfachen Vielfachen von x addiert werden.
Zwei miteinander multiplizierte Klammern sind eine weitere Aufgabenform: Jeder Summand der ersten wird mit jedem Summanden der zweiten multipliziert. Das unterscheidet sich vom Addieren oder Subtrahieren zweier Klammern. Benenne zuerst die Rechenoperation zwischen den Gruppen, bevor du eine gelernte Abkürzung benutzt. Geht es in deinen Hausaufgaben nur um einen äußeren Faktor, sichere zunächst diese Grundlage, statt ein neues Muster zu erraten.
8. Beende die Aufgabe mit einem eigenen neuen Versuch
Schließe die Erklärung und bearbeite 3(2x − 5) − 4(x − 2). Die ausmultiplizierte Zeile lautet 6x − 15 − 4x + 8; daraus wird 2x − 7. Für x = 0 ergeben beide Formen −7. Versuche danach −(3a − 5) + 2(a + 1): zunächst −3a + 5 + 2a + 2, anschließend −a + 7. Begründe die positiven Konstanten, bevor du nachsiehst.
Wenn eine Aufgabe nicht gelingt, notiere die konkrete unsichere Entscheidung: den zweiten Summanden mitmultiplizieren, den negativen Faktor übernehmen oder die Konstanten zusammenfassen. Wähle eine neue Übung, die genau diesen Punkt verändert und den Rest überschaubar lässt. Zehn abgeschriebene Lösungen zeigen nicht, ob du die Entscheidung inzwischen selbst treffen kannst. Bewahre deine fehlerhafte Zeile auf, damit die Verbesserung nachvollziehbar bleibt.
Für die Abgabe genügen je nach Vorgabe der ursprüngliche Term, eine vollständige ausmultiplizierte Zeile, das zusammengefasste Ergebnis und eine verlangte Probe. Setze Gleichheitszeichen nur zwischen tatsächlich gleichwertigen Ausdrücken. Dein Blatt soll den Rechenweg für andere lesbar machen. Frage bei unklaren Zeichen oder Anweisungen nach und beachte die schulischen Vorgaben zur Kennzeichnung verwendeter Hilfsmittel.
