Hausaufgaben zum Einheitskreis: exakte Werte

Hausaufgaben zum Einheitskreis beginnen mit einer Skizze

Zeichne einen Kreis mit Radius eins und zwei Achsen durch seinen Mittelpunkt. Der Startpunkt liegt rechts auf der positiven x-Achse. Positive Winkel drehst du gegen den Uhrzeigersinn, negative im Uhrzeigersinn. Der Endpunkt auf dem Kreis hat die Koordinaten (Kosinus, Sinus). Lies zuerst die waagerechte und dann die senkrechte Koordinate ab. Steht auf dem Blatt zuerst der Sinus, kannst du die Ergebnisse am Ende in der geforderten Reihenfolge aufschreiben.

Bei 150° führt der Weg über die obere Hälfte des Kreises. Der Endpunkt liegt links vom Mittelpunkt und oberhalb der x-Achse. Schreib neben die Skizze: Kosinus negativ, Sinus positiv. Hierfür brauchst du weder einen Taschenrechner noch eine Tabelle. Selbst wenn du die exakten Werte vergessen hast, kannst du eine Antwort mit positivem Kosinus an dieser Stelle bereits ausschließen.

Für die Skizze brauchst du keinen Winkelmesser. Entscheidend sind der Startstrahl, die Drehrichtung und die Lage des Endstrahls. Bei 90° endet der Strahl auf der positiven y-Achse. Zeichne dort den Punkt (0, 1) ein. Der Kosinus ist null, der Sinus eins. Bei einem solchen Achsenpunkt kannst du beide Koordinaten direkt ablesen und brauchst kein rechtwinkliges Dreieck.

Den Bezugswinkel an der waagerechten Achse messen

Der Bezugswinkel ist bei einem Punkt zwischen den Achsen der kleine Winkel zwischen Endstrahl und x-Achse. Bei 150° fehlen noch 30° bis zur negativen x-Achse, denn 180° − 150° = 30°. Die Rechnung 150° − 90° liefert zwar ebenfalls einen Winkel aus der Zeichnung, aber sie misst den Abstand zur senkrechten Achse. Damit würdest du bei den beiden Koordinaten die Beträge vertauschen.

Das Prinzip bleibt im Bogenmaß gleich. Eine halbe Drehung entspricht π, eine volle Drehung 2π. Bei 7π/6 bist du um π/6 über die halbe Drehung hinaus, weil 7π/6 − 6π/6 = π/6. Der Punkt liegt links unten. Beide Koordinaten sind daher negativ. Wenn dich der Bruch verwirrt, markiere zuerst π und ergänze von dort das fehlende Sechstel von π. So wird sichtbar, warum der Winkel knapp hinter einer halben Drehung liegt.

Der Landesbildungsserver Baden-Württemberg erklärt Sinus und Kosinus am Einheitskreis anhand der Koordinaten des Punktes. Vergleiche die Darstellung mit deiner Skizze. Wenn du den Endpunkt verschiebst, achte darauf, bei welcher Achse das Vorzeichen der waagerechten Koordinate wechselt und bei welcher das der senkrechten.

Die Beträge aus dem rechtwinkligen Dreieck gewinnen

Für einen Bezugswinkel von 30° kannst du ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge zwei halbieren. Die halbe Grundseite ist eins lang, die Hypotenuse zwei. Nach dem Satz des Pythagoras hat die andere Kathete die Länge √3. Teilst du alle Seiten durch zwei, passt das Dreieck zum Radius eins. Die Katheten sind jetzt 1/2 und √3/2.

Im ersten Quadranten liegt beim Winkel von 30° die kurze Kathete gegenüber dem Winkel. Sie verläuft senkrecht. Die waagerechte Koordinate ist deshalb √3/2 und die senkrechte 1/2. Bei 60° tauschen die beiden Beträge ihre Plätze. Bei 45° sind die Katheten gleich lang und beide Koordinaten betragen √2/2. Beschrifte in der Zeichnung den Winkel am Mittelpunkt. Damit kannst du Gegenkathete und Ankathete unterscheiden, auch wenn das Dreieck anders aussieht als im Schulbuch.

Übertrage für 150° zuerst die Beträge in der richtigen Reihenfolge und ergänze dann die Vorzeichen. Das ergibt cos 150° = −√3/2 und sin 150° = 1/2. Bei 7π/6 entspricht der Bezugswinkel ebenfalls 30°, aber beide Koordinaten sind negativ. Also gilt cos(7π/6) = −√3/2 und sin(7π/6) = −1/2. Die Skizze erklärt, warum dieselben Beträge bei zwei Aufgaben zu verschiedenen Ergebnissen führen.

Mit Lirno gezielt einen Zwischenschritt prüfen

Wenn deine Schule KI-Hilfe erlaubt, fotografiere die vollständige Aufgabe mit Lirno. Achte darauf, dass der Auftrag, die Winkeleinheit und gegebenenfalls die ganze Abbildung im Bild sind. Vergleiche anschließend die erkannte Aufgabe mit dem Blatt. Bei 7π/6 kann ein falsch gelesenes Minuszeichen oder eine Acht statt einer Sechs die Rechnung verändern. Korrigiere die Eingabe oder nimm die Aufgabe erneut auf, bevor du einen Hinweis verwendest.

Zeichne den Endstrahl zunächst selbst ein. Wenn du beim Quadranten stockst, frage nach einem Hinweis zu genau diesem Schritt. Du könntest schreiben: „Ich habe 7π/6 als π + π/6 gelesen. In welche Richtung muss ich von der negativen x-Achse weiterdrehen? Lass mich Sinus und Kosinus selbst bestimmen.“ Danach trägst du den Bezugswinkel und die Beträge ein. Hast du bereits gerechnet, gib deinen Lösungsweg mit und bitte um eine Erklärung zur ersten Stelle, an der sich die Ergebnisse unterscheiden.

KI kann die Aufgabe falsch lesen oder einen Rechenweg falsch beurteilen. Kontrolliere deshalb den Hinweis an deiner Zeichnung und prüfe die Rechnung anhand deiner Unterrichtsunterlagen. Für die Abgabe gelten die Regeln deiner Schule. Lirno garantiert weder richtige Ergebnisse noch Noten, Lernerfolg oder eine Erlaubnis zur Nutzung. Darfst du das Aufgabenblatt nicht hochladen, kannst du ein selbst formuliertes Beispiel üben oder dieselben Schritte auf Papier durchführen.

Vorzeichen und Beträge getrennt kontrollieren

Bei 150° ist der Punkt näher am linken Ende der x-Achse als am oberen Ende der y-Achse. Der Betrag der x-Koordinate muss also größer sein als der der y-Koordinate. Beim Paar (−1/2, √3/2) stimmen beide Vorzeichen. Die Lage wäre trotzdem falsch, weil der Punkt zu weit oben läge. Kontrolliere deshalb sowohl die Vorzeichen als auch die Größenverhältnisse.

Prüfe zusätzlich, ob die Summe der Quadrate der Koordinaten eins ergibt. Für (−√3/2, 1/2) rechnest du 3/4 + 1/4 = 1. Diese Kontrolle kann einen falsch abgeschriebenen Betrag aufdecken. Beim Quadrieren verschwindet jedoch das Vorzeichen, und wenn du die Summanden vertauschst, bleibt die Summe gleich. Die Kreisgleichung ergänzt also den Lagecheck, der Vorzeichen und Reihenfolge prüft.

Wenn eine Taschenrechnerkontrolle zulässig ist, wähle passend zur Aufgabe Gradmaß oder Bogenmaß. Ein Dezimalwert kann als Gegenprobe dienen. Verlangt die Aufgabe den exakten Wert, bleibt −√3/2 das Ergebnis. Schreib bei einem Fehler kurz auf, ob du die Winkeleinheit, den Bezugswinkel oder die Zuordnung der Koordinaten korrigieren musstest. Beim nächsten Üben kannst du genau diesen Schritt zuerst überprüfen.

Einen neuen Winkel ohne Vorlage lösen

Decke die Beispiele ab und zeichne den Endstrahl für −π/3. Beginne rechts und drehe im Uhrzeigersinn um ein Sechstel eines Vollkreises. Du landest rechts unten. Beim Bezugswinkel π/3 beträgt die waagerechte Koordinate 1/2 und die senkrechte hat den Betrag √3/2. Daraus ergibt sich das Paar (1/2, −√3/2). Falls du links unten gelandet bist, geh noch einmal zum Startpunkt zurück und zeichne den Drehpfeil ein.

Versuch danach 2π/3. Der Bezugswinkel ist ebenfalls π/3, aber der Endpunkt liegt links oben. Die Koordinaten sind (−1/2, √3/2). Lege die beiden Skizzen nebeneinander. Die waagerechten Beträge sind gleich groß, ebenso die senkrechten. Beide Vorzeichen ändern sich, weil eine halbe Drehung die Punkte auf gegenüberliegende Seiten des Kreises bringt.

Mische anschließend einen negativen Winkel, einen Winkel im Gradmaß und einen Achsenpunkt. Mit dem Lirno-Mathematikbereich kannst du weitere Aufgabenarten einordnen und mit dem deutschen Ratgeberarchiv passende Übungsthemen auswählen. Schreib neben jedes Beispiel einen kurzen Hinweis, der erklärt, woran du den richtigen Einstieg erkannt hast. Beim erneuten Üben deckst du die Hinweise ab und versuchst, sie aus dem Aufgabentext abzuleiten.

Die Skizze als Begründung aufschreiben

Wenn du eine Begründung abgeben sollst, formuliere den Weg vom Winkel zum Punkt. Für 150° könntest du erklären, dass der Endstrahl im zweiten Quadranten 30° von der negativen x-Achse entfernt liegt. Der Punkt für 30° wird an der y-Achse gespiegelt. Die waagerechte Koordinate wechselt dabei das Vorzeichen, die senkrechte bleibt gleich. Damit hast du die beiden Vorzeichen begründet und kannst danach die exakten Werte einsetzen.

Bei 7π/6 kannst du statt einer Spiegelung eine halbe Drehung beschreiben. Geh vom Punkt für π/6 aus. Durch die zusätzliche Drehung um π erreichst du den Punkt auf der gegenüberliegenden Seite. Sowohl waagerecht als auch senkrecht kehrt sich die Richtung um. Deshalb ändern sich beide Vorzeichen. Schreib einmal beide Varianten auf, zuerst über den Bezugswinkel und dann über die Symmetrie. Wenn in einer späteren Aufgabe ausdrücklich eine Begründung mit Symmetrie gefragt ist, hast du schon eine passende Formulierung geübt.

Wenn Zeichnung und Rechnung verschiedene Quadranten ergeben, such zuerst die Stelle, an der sie auseinanderlaufen. Bei 5π/3 kannst du den Winkel als 2π − π/3 schreiben. Nach einer vollen Drehung gehst du um π/3 zurück und landest unterhalb der x-Achse. Korrigiere zunächst den Endstrahl. Erst danach setzt du die Beträge und Vorzeichen ein. So bleibt nachvollziehbar, warum sich das Ergebnis verändert hat.

Probier dieselbe Begründung mit einem Winkel, der größer als eine volle Drehung ist. Bei 13π/6 kannst du erst 12π/6 abziehen, weil ein Vollkreis den Endpunkt unverändert lässt. Es bleibt π/6. Der Endpunkt liegt rechts oben, und beide Koordinaten sind positiv. Wenn die Aufgabe den ursprünglichen Drehweg verlangt, lass den vollen Umlauf in deiner Skizze sichtbar. Geht es nur um Sinus und Kosinus, reicht der kürzere Winkel für die Koordinaten. Schreib ausdrücklich dazu, weshalb du den Vollkreis abziehst. So bleibt klar, dass du die Eingabe verstanden hast und die Lage des Endpunkts benutzt, um den Rechenweg zu vereinfachen.

Prüfe zum Schluss, ob die Aufgabe nach den Koordinaten eines Punktes oder nach einzelnen Funktionswerten fragt. In einem Koordinatenpaar steht der Kosinus links. Bei zwei beschrifteten Antworten kannst du der Reihenfolge des Aufgabenblatts folgen.