Devoirs de maths
Devoirs sur le cercle trigonométrique : valeurs exactes
Réussis tes devoirs sur le cercle trigonométrique avec des angles associés, des valeurs exactes et un indice ciblé dans Lirno.
Dans tes devoirs sur le cercle trigonométrique, on te demande le sinus et le cosinus de 150°. Tu reconnais un lien avec 30°, mais tu hésites sur le signe et sur la place de chaque valeur. Trace le rayon qui correspond à l’angle avant de te lancer dans le calcul. Sa position te donnera deux moyens de vérifier ta réponse.
Devoirs sur le cercle trigonométrique : placer le point
Dessine un repère et un cercle de rayon un centré à l’origine. Le point de départ se trouve à droite, là où le cercle coupe le demi-axe horizontal positif. Un angle positif se parcourt dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Pour un angle négatif, tourne dans l’autre sens. À l’arrivée, le cosinus donne l’abscisse du point et le sinus son ordonnée.
Pour 150°, dépasse le sommet du cercle et arrête-toi avant d’atteindre le point le plus à gauche. Ton point est à gauche du centre et au-dessus de l’axe horizontal. Son abscisse est négative et son ordonnée positive. Écris ces deux signes à côté de ton dessin. Tu pourras les vérifier même si tu hésites encore entre les fractions à utiliser.
Sur un brouillon, trace une flèche depuis le demi-axe positif pour indiquer le sens du déplacement. Un arc isolé est plus difficile à relire, surtout si tu as plusieurs angles sur le même dessin. Lorsque le point arrive sur un axe, lis ses coordonnées directement. À 90°, par exemple, tu arrives au point (0 ; 1). Le cosinus vaut zéro et le sinus vaut un.
Repérer le petit angle avec l’axe horizontal
Pour un point situé entre deux axes, repère le petit angle formé par le rayon final et l’axe horizontal. À 150°, il reste 30° avant le demi-tour, puisque 180° − 150° = 30°. Si tu fais 150° − 90°, tu obtiens 60°, le petit angle avec l’axe vertical. Ce calcul mesure bien un angle du dessin, mais c’est la distance angulaire à l’horizontale qui permet de reprendre les coordonnées dans le bon ordre.
Le même raisonnement vaut en radians. Un demi-tour vaut π et un tour complet vaut 2π. Pour 7π/6, écris π sous la forme 6π/6. Le rayon dépasse donc le demi-tour de π/6. Il se retrouve à gauche du centre et sous l’axe horizontal, avec deux coordonnées négatives. Sur ton brouillon, décompose le déplacement en deux flèches si tu as du mal à visualiser le résultat.
Les attendus du programme de mathématiques rapprochent la lecture graphique du sinus et du cosinus et le travail sur les angles associés. Essaie de formuler le lien à partir de ton propre dessin. À quel angle du premier quadrant correspond ton point ? Par quelle symétrie ou quelle rotation peux-tu passer de l’un à l’autre ?
Retrouver les valeurs avec un triangle
Pour retrouver les valeurs à 30°, coupe en deux un triangle équilatéral de côté deux. Tu obtiens un triangle rectangle dont l’hypoténuse vaut deux et dont un côté de l’angle droit vaut un. Le théorème de Pythagore donne √3 pour l’autre côté. Divise chaque longueur par deux pour obtenir une hypoténuse égale au rayon du cercle. Les deux autres longueurs deviennent 1/2 et √3/2.
Dans le premier quadrant, pour 30°, le petit côté est en face de l’angle au centre et correspond au déplacement vertical. L’abscisse vaut donc √3/2 et l’ordonnée 1/2. À 60°, les deux longueurs échangent leur rôle. À 45°, elles sont égales et valent chacune √2/2. Pour choisir l’ordre, marque le petit angle sur ton triangle et repère quel côté lui fait face.
Reviens à 150°. Les valeurs absolues sont les mêmes qu’à 30° et ton dessin indique les signes. On obtient cos 150° = −√3/2 et sin 150° = 1/2. Pour 7π/6, les valeurs absolues sont encore les mêmes, avec deux signes négatifs. Écris cos(7π/6) = −√3/2 et sin(7π/6) = −1/2. Si le devoir demande le sinus en premier, donne deux réponses nommées. Dans le couple de coordonnées, l’abscisse conserve la première place.
Demander un indice ciblé dans Lirno
Si les règles de ton établissement autorisent cette aide, photographie l’énoncé complet dans Lirno. Garde dans le cadre la consigne, l’unité de l’angle et la figure si elle fait partie de la question. Avant de continuer, compare la lecture de l’application avec le devoir. Un signe moins oublié ou un huit à la place d’un six change l’angle. Corrige la saisie ou reprends la photo si nécessaire.
Place toi-même le rayon final. Si tu hésites, demande un indice sur ce seul choix. Tu peux écrire « J’ai décomposé 7π/6 en π + π/6. Dans quel quadrant dois-je arriver ? Laisse-moi calculer les valeurs. » Puis dessine le rayon, retrouve le petit angle et calcule les coordonnées. Si tu as déjà une réponse, donne tes étapes et demande une explication sur la première ligne où le raisonnement diverge.
L’IA peut mal lire l’énoncé ou se tromper dans son explication. Vérifie le résultat à l’aide de ton dessin et de ton cours. Les règles de ton établissement s’appliquent à la préparation comme au rendu du devoir. Lirno ne garantit ni la justesse, ni les notes, ni la maîtrise du sujet, ni l’autorisation de l’utiliser. Si tu ne peux pas photographier ton devoir, applique la méthode sur papier ou entraîne-toi avec un exemple que tu as rédigé.
Vérifier la position puis l’équation du cercle
À 150°, le point est plus proche de l’extrémité gauche de l’axe horizontal que du sommet du cercle. La valeur absolue de l’abscisse doit donc être plus grande que celle de l’ordonnée. Le couple (−1/2 ; √3/2) a les bons signes, mais il correspond à un point plus haut et moins à gauche que prévu. Un croquis même approximatif permet de voir cet écart.
Vérifie ensuite que la somme des carrés vaut un. Pour (−√3/2 ; 1/2), on obtient 3/4 + 1/4 = 1. Ce contrôle permet de repérer certaines erreurs de recopie. Élever au carré efface cependant les signes et la somme ne change pas lorsque les coordonnées sont inversées. Garde donc la vérification graphique, qui répond à une autre question.
Si la calculatrice est autorisée, sélectionne l’unité de l’énoncé avant de comparer une approximation. Si le résultat décimal te surprend, vérifie d’abord le mode et les parenthèses autour de la fraction. Conserve la racine dans la réponse lorsque l’énoncé demande une valeur exacte. Pour varier ensuite le type de calcul, tu peux choisir un exercice dans le dossier de maths de Lirno et noter à quel moment tu as besoin de contrôler l’unité.
Refaire la démarche sans modèle
Cache les exemples et place −π/3. À partir de la droite, tourne d’un sixième de tour dans le sens des aiguilles d’une montre. Le rayon arrive en bas à droite. L’angle de référence est π/3. Le cosinus vaut 1/2 et le sinus −√3/2. Si ton dessin arrive en haut, indique le sens sur la flèche avant de reprendre les calculs. L’erreur est apparue au moment du déplacement, et les fractions ne peuvent pas la corriger.
Essaie ensuite 2π/3. Le petit angle avec l’horizontale vaut encore π/3, mais le point se trouve en haut à gauche. Les coordonnées sont (−1/2 ; √3/2). Compare les deux dessins. Les valeurs absolues coïncident et les signes sont opposés, car les points sont de part et d’autre du centre. Ajoute π/2 à la série pour t’obliger à repérer un point sur un axe.
Pour une deuxième séance, mélange un angle en degrés, un angle négatif et un angle de plus d’un tour. Tu peux alterner avec un autre sujet du catalogue de guides en français. Pour chaque question, écris une courte indication sur le premier geste qui t’a aidé. Reprends le lendemain les exercices qui t’ont fait hésiter et vérifie si tu retrouves ce geste sans relire ton indication.
Rédiger une justification que l’on peut relire
Pour justifier 150°, explique que le rayon se trouve dans le deuxième quadrant et forme un angle de 30° avec le demi-axe horizontal négatif. Le point associé à 30° se reflète par rapport à l’axe vertical. L’abscisse change de signe et l’ordonnée reste la même. Cette justification montre d’où viennent les signes, même sur une figure où le cercle est dessiné à main levée.
Pour 7π/6, tu peux partir de π/6 et ajouter un demi-tour. La rotation mène au point diamétralement opposé, ce qui change le signe des deux coordonnées. Fais une fois le calcul par la rotation et une fois par le petit angle. Si une consigne demande une relation entre des angles associés, tu sauras expliquer la relation avant d’insérer les valeurs.
Pour finir, teste 13π/6. Écris que 13π/6 = 2π + π/6. Après un tour complet, le rayon a retrouvé le point de départ, puis il avance encore de π/6. Les deux coordonnées sont positives, avec √3/2 à l’horizontale et 1/2 à la verticale. Si le devoir demande de représenter le déplacement, fais apparaître le tour complet dans la figure. Si la question porte seulement sur le sinus et le cosinus, explique en une phrase pourquoi le point d’arrivée coïncide avec celui de π/6.