Devoirs de géométrie
Devoirs : volume d’un prisme droit, deux hauteurs
Calcule l’aire d’une base, distingue les deux hauteurs et vérifie les unités avant de demander un indice ciblé.
Le volume d’un prisme droit, dans les devoirs, se calcule plus clairement quand tu cesses de multiplier toutes les longueurs indiquées. Repère une base, calcule son aire et trouve la distance perpendiculaire jusqu’à l’autre base. Pour un prisme triangulaire, deux hauteurs interviennent souvent : celle du triangle et celle du prisme. Leur rôle est plus fiable que leur position apparente dans une perspective.
Ce guide propose des exercices originaux sur papier et un parcours concret avec Lirno lorsque ton établissement autorise l’IA : capture complète, vérification, indice, essai personnel et contrôle. Les exercices sont gratuits ici, sans application ni compte. Nous travaillons avec des bases rectangulaires ou triangulaires et des mesures suffisantes. Les pyramides, les surfaces courbes, les assemblages de solides et les méthodes supplémentaires pour trouver une dimension manquante demandent d’autres raisonnements.
1. Devoirs de volume d’un prisme droit : reconnaître la base
Un prisme droit possède deux bases polygonales superposables et parallèles. Ses arêtes latérales sont perpendiculaires aux plans des bases. Les sections parallèles à ces bases conservent la même forme et la même taille. Son volume est l’aire d’une base multipliée par la distance perpendiculaire entre les bases. Nous écrivons V = A_base × H, où A_base est une aire et H la hauteur du prisme. Adapte les lettres à celles de ton cours, sans changer leur sens.
La base n’est pas forcément la face dessinée en bas. Pour un prisme triangulaire couché, ce sont les deux extrémités triangulaires correspondantes. Tourner le dessin ne modifie pas le volume. Distingue aussi prisme droit et triangle rectangle : le premier terme concerne les arêtes latérales du solide. Sa base triangulaire ne contient donc pas nécessairement un angle droit. Lis les marques réelles au lieu de déduire un angle de l’apparence du dessin.
Vérifie la grandeur demandée. Le volume mesure un espace à trois dimensions, en unités cubes. L’aire totale mesure la surface qui délimite le solide, en unités carrées. Additionner les faces d’un patron répond donc à une autre question. La fiche Alloprof sur le volume des prismes relie aire de base et hauteur. Nos nombres sont originaux ; les photos illustrent des situations d’étude, sans constituer des schémas cotés ni des corrigés.
2. Capturer toutes les mesures et relire la reconnaissance
Avec Lirno, photographie la consigne, le solide entier, les unités et les marques d’angle droit. Inclus toute indication sur la dimension recherchée. Un cadrage qui supprime « mm » peut transformer une conversion en un autre calcul. Pose la feuille à plat et évite les ombres sur les exposants. Si tu ajoutes ton propre travail, ne masque ni une mesure ni une partie de l’instruction avec tes annotations.
Compare ce qui a été reconnu à la feuille. Vérifie 6 et 9, les virgules, cm² et cm³, ainsi que la ligne à laquelle appartient chaque mesure. Un nombre placé près d’une arête oblique n’est pas automatiquement une hauteur perpendiculaire. Le parcours de numérisation des devoirs explique capture et contrôle. Une entrée lisible ne prouve pas que la formule choisie ou l’interprétation du dessin est correcte.
Demande d’abord un indice limité : quelles sont les bases correspondantes, ou quel segment mesure leur séparation perpendiculaire ? Propose toi-même A_base et H avant de consulter l’aide. Si une explication utilise un angle droit absent des données, retourne à l’énoncé. Une représentation convaincante ou une interprétation de l’IA ne doit pas ajouter silencieusement une information manquante. Garde ton premier essai pour comprendre quelle décision tu modifies et pourquoi.
3. Calculer l’aire d’une seule base triangulaire
Dans notre exemple original, la base triangulaire possède un côté de 8 cm et une hauteur correspondante de 6 cm, perpendiculaire à ce côté. Les deux bases du prisme sont distantes de 9 cm. Commence par le triangle uniquement : A_base = (8 × 6) ÷ 2 = 24 cm². La division par deux appartient à l’aire du triangle. N’utilise pas encore les 9 cm : tu calcules d’abord une grandeur à deux dimensions.
Les 6 cm doivent être perpendiculaires au côté choisi de 8 cm, et non simplement désigner une autre arête. Un côté incliné n’est généralement pas la hauteur associée. Si la hauteur nécessaire n’est pas fournie, il faut éventuellement une autre méthode justifiée. Ne l’estime pas en mesurant la perspective, sauf consigne explicite de travail à l’échelle. L’angle droit doit provenir des données ou d’un raisonnement valide, pas d’une impression visuelle.
Utilise l’aire d’une base, même si le prisme a deux extrémités identiques. Doubler 24 cm² pour compter les deux triangles confondrait ce calcul avec une aire totale. Oublier la division par deux serait également une erreur : le rectangle de 8 cm sur 6 cm possède une aire de 48 cm² et doublerait le volume obtenu ensuite. Conserve la ligne d’aire avec son unité pour rendre ton raisonnement vérifiable.
4. Multiplier par la hauteur du prisme
Utilise maintenant les 9 cm entre les bases : V = 24 cm² × 9 cm = 216 cm³. Une aire multipliée par une longueur donne un volume. Tu peux regrouper en V = (8 × 6 ÷ 2) × 9, mais les deux étapes rendent les rôles plus visibles. Ici, la hauteur du triangle mesure 6 cm ; celle du prisme mesure 9 cm. Indique clairement cette différence sur ta propre esquisse.
Comme la multiplication est commutative, échanger la position des facteurs 6 et 9 dans le produit complet laisse le même résultat. Cela ne rend pas leurs rôles géométriques interchangeables : l’aire de base reste 24 cm², et non 36 cm². Si une question porte ensuite sur une dimension de la base ou sur la surface totale, cette distinction compte. La calculatrice ne révèle pas chaque erreur de compréhension par un résultat différent.
Pour un pavé droit dont la base choisie mesure 4 cm sur 3 cm et la hauteur 7 cm, A_base = 12 cm² et V = 84 cm³. Aucune division par deux : la base est rectangulaire. Aucune division par trois non plus : ce facteur concerne notamment les pyramides, pas ce prisme. Une perspective qui semble pointue ne suffit pas à changer de formule. Identifie le solide avant de choisir son calcul.
5. Convertir les longueurs et contrôler les unités cubes
Réécris l’exemple triangulaire avec des unités mélangées : côté de base 8 cm, hauteur du triangle 60 mm et hauteur du prisme 0,09 m. Convertis d’abord en centimètres : 60 mm = 6 cm et 0,09 m = 9 cm. Tu retrouves 24 cm² puis 216 cm³. Multiplier directement 8, 60 et 0,09 mélangerait trois échelles. Un nombre décimal d’apparence plausible peut masquer cette erreur.
Les facteurs de conversion des longueurs sont élevés au carré pour les aires et au cube pour les volumes. Puisque 1 cm = 10 mm, 1 cm³ = 1 000 mm³ ; donc 216 cm³ = 216 000 mm³. De même, 1 dm³ = 1 000 cm³, donc le volume vaut 0,216 dm³. Ne divise pas seulement par dix : imagine les petits cubes répartis dans les trois directions.
Si l’aire de base est fournie, traite-la comme une aire. Avec A_base = 3 m² et H = 250 cm, convertis la hauteur en 2,5 m avant d’obtenir V = 7,5 m³. Ne transforme pas le nombre 3 avec un facteur ordinaire de longueur comme s’il s’agissait de 3 m. Écris les unités sur chaque ligne : elles indiquent si tu associes bien une aire et une longueur.
6. Isoler une dimension manquante dans la formule
Un autre prisme a un volume de 126 cm³ et une aire de base de 18 cm². À partir de V = A_base × H, divise par A_base : H = V ÷ A_base. Tu obtiens H = 126 ÷ 18 = 7 cm. Les unités confirment : des centimètres cubes divisés par des centimètres carrés donnent des centimètres. Remplace ensuite dans la formule : 18 cm² × 7 cm = 126 cm³.
Ne divise pas par le périmètre quand la formule demande une aire. Le périmètre est une longueur : volume divisé par longueur laisserait une aire, pas une hauteur. Si V et H sont connus, A_base = V ÷ H donne une aire. Pour trouver un côté du triangle, il faut encore sa hauteur correspondante. Un seul volume ne détermine pas toutes les dimensions : plusieurs prismes différents peuvent occuper le même espace.
Parfois, l’aire nécessite réellement une étape supplémentaire. Si l’exercice donne assez d’informations sur un triangle rectangle, le guide des devoirs avec Pythagore peut aider à trouver une longueur. Vérifie d’abord l’angle droit et l’hypoténuse. N’invente pas une diagonale ou une équation supplémentaire si l’aire donnée permet déjà d’utiliser directement V = A_base × H. Un chemin court et justifié est plus facile à contrôler qu’une construction inutile.
7. Faire vérifier la première décision incorrecte
Supposons que ton essai donne 432 cm³ à partir de 8 × 6 × 9. L’arithmétique est correcte, mais tu as utilisé l’aire d’un rectangle au lieu de celle du triangle. Demande à Lirno de vérifier précisément cette étape. Explique ensuite toi-même pourquoi la division par deux est nécessaire. Un indice ciblé apporte davantage qu’une nouvelle solution complète impossible à reconstruire. Corrige cette décision avant de refaire la multiplication finale.
Tu peux aussi demander une explication sur les deux hauteurs ou un contrôle d’une conversion particulière. Conserve ton croquis annoté à côté. L’IA peut mal lire les mesures ou raisonner incorrectement ; une réponse fluide ne prouve pas qu’un angle non marqué est droit. Les règles scolaires restent applicables. Lirno ne garantit ni exactitude, ni notes, ni maîtrise, ni autorisation d’utiliser l’IA. Respecte les consignes de déclaration de l’aide et consulte ton professeur si un doute demeure.
La méthode et les exercices sur papier sont gratuits ici, sans Lirno. Si tu choisis l’application, Lirno est gratuit à télécharger ou à commencer ; certains niveaux d’utilisation de l’IA ou certaines fonctions avancées peuvent nécessiter Premium. Cela ne promet pas des vérifications gratuites illimitées. Définis la difficulté à examiner, propose ton essai et contrôle la modification suggérée. L’objectif est de comprendre les grandeurs, pas d’accumuler des confirmations du même nombre.
8. Résoudre un nouveau prisme et justifier la réponse
Essaie ces trois questions originales sur papier. Un pavé droit possède une base de 5 cm sur 4 cm et une hauteur de 7 cm. Un prisme triangulaire a un côté de base de 10 cm, la hauteur triangulaire correspondante de 3 cm et une hauteur de prisme de 8 cm. Enfin, un prisme a une aire de base de 15 cm² et un volume de 90 cm³ ; cherche sa hauteur.
La base rectangulaire mesure 20 cm², d’où 140 cm³. La base triangulaire mesure 15 cm², d’où 120 cm³. La troisième hauteur vaut 90 cm³ ÷ 15 cm² = 6 cm. Vérifie par remplacement et par les unités. Autre contrôle de raisonnement : doubler seulement la hauteur, à base inchangée, double le volume. Doubler toutes les longueurs d’un solide semblable multiplie en revanche son volume par huit, car les trois facteurs de longueur changent.
Lorsque c’est autorisé, le parcours d’entraînement et de révision peut aider à créer une question analogue à partir d’une erreur repérée. Sépare l’exercice d’entraînement du devoir original pour ne pas rendre la mauvaise réponse. Cache ensuite les exemples et explique les deux hauteurs sur une nouvelle esquisse. Une solution compréhensible contient la formule, l’aire de base, des unités cohérentes et la grandeur demandée, plutôt qu’un nombre recopié depuis un écran.
