Devoirs d’algèbre
Devoirs sur les inéquations : sens et frontière
Justifie le changement de sens, vérifie la frontière et utilise un indice ciblé pour corriger ton propre raisonnement.
Les inéquations dans les devoirs demandent un ensemble de valeurs, pas seulement le nombre pour lequel deux expressions deviennent égales. Une erreur fréquente consiste à poursuivre comme pour une équation et à oublier l’effet d’une multiplication par un nombre négatif sur l’ordre. Une autre consiste à s’arrêter à la valeur frontière sans décider si elle appartient à la solution. Ces erreurs peuvent rester cachées dans une présentation pourtant soignée.
Ce guide propose des exemples originaux à une inconnue, une droite graduée et des vérifications par substitution. Si ton établissement autorise l’IA, Lirno peut apporter une aide ciblée : capturer toute la consigne, vérifier la reconnaissance, demander un indice, faire ton propre essai et contrôler le résultat. Nous traitons des expressions linéaires avec des coefficients numériques connus. Les inconnues au dénominateur, les expressions quadratiques et les valeurs absolues nécessitent des méthodes supplémentaires.
1. Inéquations : lire la relation et le domaine
Les signes < et > signifient strictement inférieur et strictement supérieur. Les signes ≤ et ≥ autorisent aussi l’égalité. Dans 2x + 3 ≤ 11, on cherche chaque valeur admise de x pour laquelle l’expression vaut au plus onze. L’équation 2x + 3 = 11 donne une valeur frontière. Elle ne détermine pas, à elle seule, quel côté de cette frontière satisfait la relation initiale.
Note également le domaine. Si x représente un réel, des fractions et des décimaux peuvent convenir. Si x représente un nombre de cahiers achetés, seuls les entiers positifs ou nuls ont un sens. Une conclusion comme x ≤ 4,5 doit alors être restreinte à ce domaine : elle ne permet pas d’acheter un demi-cahier. Le calcul algébrique et son interprétation sont deux parties distinctes d’une réponse complète.
Recopie soigneusement le signe et prévois comment le membre de gauche varie lorsque x augmente. Un coefficient positif le fait augmenter ; un coefficient négatif le fait diminuer. Le cours d’Alloprof sur les inéquations du premier degré présente les règles de résolution. Nos exercices numériques sont originaux. Garde la consigne sous les yeux : un signe mal recopié peut transformer silencieusement l’exercice en un autre problème.
2. Capturer toute la consigne et vérifier la reconnaissance
Avec Lirno, photographie l’inéquation complète, les parenthèses, la consigne, le domaine et la représentation demandée. Un cadrage qui retire « valeurs entières seulement » modifie la réponse attendue. Pose la feuille à plat, évite les ombres et laisse une petite marge autour de la ligne. Si ton raisonnement doit être vérifié, montre-le lisiblement ou séparément, sans couvrir une partie de la question imprimée par tes calculs manuscrits.
Relis l’expression reconnue en la comparant à l’original avant de demander de l’aide. Contrôle < et ≤, les moins, les fractions et les parenthèses. Un petit trait détermine si la frontière est incluse ; un moins oublié peut inverser le sens de la solution. Le parcours de capture des devoirs avec Lirno explique cette préparation. Une bonne photo fournit une entrée utile, mais ne garantit ni la reconnaissance ni le raisonnement.
Commence par une demande précise, par exemple un indice sur l’opération suivante pour 7 − 3x < 16. Écris auparavant l’étape que tu envisages. Tu n’as pas besoin de demander immédiatement un corrigé complet. Si l’expression capturée diffère de la feuille, corrige d’abord l’entrée. Une explication convaincante d’une autre inéquation ne valide pas tes devoirs. Vérifier la question est plus utile que recevoir rapidement une réponse à un problème mal lu.
3. Addition et soustraction conservent le sens
Partons de 7 − 3x < 16. Soustraire sept aux deux membres donne −3x < 9. Le sens ne change pas. Soustraire un positif, ajouter un négatif ou soustraire le même terme aux deux membres ne renverse pas l’ordre. La question utile est l’opération appliquée aux deux membres entiers, pas la présence d’un signe moins quelque part dans la ligne. Écris explicitement cette opération plutôt que d’utiliser un déplacement sans explication.
Compare avec 2x + 3 ≤ 11. Soustraire trois donne 2x ≤ 8 ; diviser par deux, qui est positif, donne x ≤ 4. Pour x = 3, le membre initial vaut neuf, donc neuf est bien inférieur ou égal à onze. Pour x = 5, il vaut treize et ne convient pas. À la frontière x = 4, il vaut onze. Cette valeur est incluse puisque le signe initial autorise l’égalité.
Indique chaque opération dans la marge. Tu pourras retrouver une étape suspecte plus facilement qu’au milieu de lignes non expliquées. Si l’inconnue apparaît des deux côtés, la soustraction reste possible : 4x + 1 < 2x + 9 devient 2x + 1 < 9, puis 2x < 8 et x < 4. Le coefficient obtenu après regroupement détermine la division nécessaire. La position visuelle de x sur la page ne constitue pas une règle.
4. Diviser par un négatif renverse l’ordre
Revenons à −3x < 9. Diviser les deux membres par moins trois renverse le sens : x > −3. Un simple exemple montre pourquoi : 2 < 5, mais multiplier les deux nombres par −1 donne −2 > −5. Leurs positions relatives sur la droite changent. Cette règle concerne l’ordre après une opération précise ; elle ne s’applique pas automatiquement dès que le résultat contient un nombre négatif.
Vérifie l’expression originale avec x = 0 : 7 − 3 × 0 vaut sept, qui est inférieur à seize. Avec x = −4, elle vaut dix-neuf, ce qui ne convient pas. À la frontière x = −3, elle vaut seize ; le signe strict < exclut donc cette valeur. Ces contrôles confirment le sens et la décision sur la frontière. Ils complètent les transformations équivalentes, sans remplacer leur justification.
Si tu divises d’abord −3x < 9 par trois positif, tu obtiens −x < 3 sans changement de sens. C’est la multiplication suivante par −1 qui donne x > −3. Les deux chemins concordent. Pour comprendre ce renversement, demande une explication ciblée parmi les niveaux d’aide du tuteur Lirno. Reformule ensuite la règle et désigne l’opération exacte. « Il y a un moins » ne suffit pas à justifier un changement de sens.
5. Traiter correctement parenthèses et fractions
Considère 3(2 − x) ≥ 12. Développer donne 6 − 3x ≥ 12. Soustraire six donne −3x ≥ 6, puis diviser par −3 en inversant le sens donne x ≤ −2. La frontière est incluse. Pour x = −2, le membre initial vaut douze ; pour x = −3, il vaut quinze. Les deux conviennent. La valeur proche x = −1 donne neuf et ne satisfait pas l’inéquation.
Une fraction ne provoque pas automatiquement un renversement. Dans (x − 1)/2 > 3, multiplier par deux positif donne x − 1 > 6, donc x > 7. Dans (x − 1)/(−2) > 3, multiplier par moins deux donne x − 1 < −6, donc x < −5. Le signe connu du dénominateur commande l’opération. Encadre tout le numérateur par des parenthèses pour ne pas diviser involontairement un seul de ses termes.
Cette méthode suppose un facteur numérique non nul. Ne multiplie pas sans précaution par une expression dont le signe dépend de x : des cas peuvent être nécessaires, et une division par zéro est impossible. Si la consigne place x au dénominateur, identifie la méthode appropriée avec le cours ou le professeur. Reconnaître les limites de la procédure est plus utile que prolonger une habitude au-delà de ses conditions de validité.
6. Représenter la frontière et les valeurs admises
Pour x > −3, place un point ouvert à moins trois et indique les valeurs à droite. Pour x ≤ −2, place un point plein à moins deux et indique les valeurs à gauche. Ouvert signifie exclu ; plein signifie inclus. La direction dépend de supérieur ou inférieur, pas du signe de la frontière. Une frontière négative peut donc accompagner une solution située à droite comme une solution située à gauche.
Avec la notation française des intervalles, x > −3 s’écrit ]−3 ; +∞[ et x ≤ −2 s’écrit ]−∞ ; −2]. L’infini n’est pas une valeur numérique qu’on inclut comme extrémité. Suis la notation de ton cours et explicite la présence ou l’absence de la frontière. Sur la droite, écris sa valeur : une flèche et un point sans étiquette ne permettent pas de savoir précisément quel ensemble est représenté.
Un problème concret impose un filtre supplémentaire. Une association dispose de quarante unités monétaires, paie sept de frais fixes et six par cahier. L’inéquation 7 + 6n ≤ 40 donne n ≤ 5,5. Pour une quantité de cahiers, on conserve seulement les entiers positifs ou nuls : de zéro à cinq. Cinq coûtent trente-sept et six coûtent quarante-trois. Le maximum admissible est cinq ; la frontière algébrique cinq et demi ne représente pas un achat possible.
7. Reconnaître tous les réels ou aucune solution
Certaines inéquations linéaires n’ont pas de frontière. Dans 2x + 3 < 2x + 8, soustraire 2x donne 3 < 8. Cette affirmation est toujours vraie : chaque valeur du domaine convient. Si le domaine est celui des réels, la solution est l’ensemble des réels. Si le contexte impose une restriction, chaque valeur de ce domaine plus petit convient. La disparition de x ne supprime pas les conditions initiales.
Dans 2x + 3 > 2x + 8, la même opération donne 3 > 8, qui est faux. Aucune valeur ne satisfait la consigne. Ne divise pas par le coefficient disparu et ne conclus pas x = 0 simplement parce que l’inconnue n’apparaît plus. Le résultat décrit l’ensemble des solutions. Essayer deux nombres différents peut aider à voir que la même contradiction subsiste, quel que soit le nombre substitué.
Pour vérifier ton essai avec Lirno, fournis l’original et tes étapes annotées, puis demande la première transformation non justifiée. Une suggestion reste à contrôler : l’IA peut mal lire ou raisonner incorrectement. Recalcule la ligne indépendamment et teste des valeurs de part et d’autre d’une frontière supposée. Les règles scolaires s’appliquent ; Lirno ne garantit ni exactitude, notes, maîtrise ni autorisation. Une formulation fluide ne remplace pas la justification d’une opération.
8. Transformer l’erreur en exercice ciblé
Travaille trois nouvelles expressions : 5x − 4 > 11, −2x + 1 ≥ 9 et 4(x + 1) ≤ 12. Leurs solutions sont x > 3, x ≤ −4 et x ≤ 2. Cache ces résultats avant ton essai. Repars de l’original, indique l’opération susceptible d’inverser le sens et teste une valeur incluse, une valeur exclue et la frontière. Écris séparément les deux membres pour chaque substitution, plutôt que de noter seulement « vrai ».
Change ensuite un seul symbole. Remplacer > par ≥ dans le premier exercice inclut trois sans changer le côté représenté. Remplacer −2 par deux positif dans le deuxième donne x ≥ 4. Explique pourquoi la direction change dans ce cas. Ces petites variations montrent si tu comprends l’opération ou si tu reconnais seulement une ligne déjà vue. Essaie de prévoir la modification avant de consulter une aide ou le résultat.
Le parcours d’entraînement de Lirno peut soutenir des questions supplémentaires après ton essai corrigé. Garde un objectif précis : renversement, parenthèses, frontière ou domaine. Tu peux aussi faire tous les exercices proposés ici sur papier sans application. Termine par une phrase complète indiquant l’ensemble des solutions et le domaine retenu. Cette conclusion relie le calcul, le schéma et la demande réelle de tes devoirs.
