Devoirs de géométrie
Devoirs sur l’aire du trapèze : quelle hauteur ?
Repère les bases parallèles, distingue la hauteur du côté oblique et vérifie ton calcul avec les unités et une estimation.
Les devoirs sur l’aire du trapèze demandent souvent de choisir entre plusieurs longueurs bien visibles. Deux décrivent les côtés parallèles ; une autre doit mesurer leur écart perpendiculaire. Un côté oblique peut porter une mesure parfaitement lisible sans être la hauteur recherchée. La première étape consiste donc à comprendre le schéma, avant de saisir une formule dans une calculatrice ou de demander une réponse à un tuteur utilisant l’intelligence artificielle.
Les exemples qui suivent sont des exercices originaux, avec des données fictives. Les photographies illustrent des situations de travail : ce ne sont ni des schémas à mesurer ni des feuilles de réponses. Garde ton véritable énoncé à côté de toi. Tu vas calculer une aire, retrouver une hauteur et expliquer une erreur plausible. Si les règles de ton établissement le permettent, Lirno peut ensuite proposer un indice ou une explication ciblée, après vérification du scan et un premier essai personnel.
1. Commence tes devoirs sur l’aire du trapèze par les données
Repère les deux côtés parallèles et note leurs longueurs a et b. Ici, h représente la distance perpendiculaire entre les droites qui portent ces côtés ; A représente l’aire délimitée par la figure. Ton cours peut employer B et b pour la grande et la petite base, ou d’autres lettres. Ce qui compte est la signification des symboles. Une lettre n’impose pas qu’un côté soit en bas de la page et ne suffit pas à identifier une hauteur.
Pour établir le parallélisme, cherche les flèches correspondantes, une indication écrite ou une propriété déjà démontrée dans l’exercice. Une esquisse qui semble symétrique ne prouve pas que les côtés obliques sont égaux ou qu’un angle est droit. Pour notre calcul, la condition utile reste explicite : les deux côtés sélectionnés sont parallèles et la hauteur mesure leur séparation à angle droit. Ne remplace pas ces données par une impression visuelle.
L’activité Aire des trapèzes du Centre franco propose de travailler les bases et de conserver les étapes du calcul. Pour nos propres exemples, on utilise A = (a + b) × h ÷ 2. Additionner les quatre côtés donnerait un périmètre, pas une aire. Écris la grandeur demandée près de la consigne avant de choisir tes nombres.
2. Numérise tout l’énoncé, puis contrôle son interprétation
Lis les phrases autour du schéma, y compris une éventuelle mention « figure non à l’échelle ». Recopie les données avec leurs unités et distingue ce qui est donné de ce qu’il faut trouver. Une longueur placée le long d’un bord incliné n’indique pas une hauteur perpendiculaire. Si le petit carré d’angle droit se trouve hors du trapèze, conserve-le dans ta copie.
Lorsque cette aide est autorisée, utilise le parcours de Lirno pour scanner les devoirs avec une page bien à plat et un éclairage régulier. Inclus la consigne entière, les flèches de parallélisme, les unités et les angles marqués. Retire d’abord les noms ou les informations privées que tu n’as pas le droit de partager. Un recadrage trop serré sur la figure peut supprimer une hauteur extérieure ou une donnée écrite juste au-dessus.
Avant toute demande, compare les éléments reconnus à l’original : 1,2 n’est pas 12, cm n’est pas mm, et h ne doit pas changer de segment. Les petites marques géométriques peuvent disparaître ou être mal interprétées. Demande ensuite un indice précis, par exemple : « Quel segment marqué est perpendiculaire aux deux bases ? » Corrige d’abord une association douteuse entre mesure et segment. La lisibilité d’une réponse ne garantit ni une transcription fidèle ni un raisonnement géométrique correct.
3. Choisis la hauteur même lorsque le dessin est tourné
La hauteur mesure une distance à angle droit avec les bases parallèles. Ce n’est pas automatiquement la plus longue ligne, le côté situé à gauche ou la direction verticale de l’écran. Imagine que tu tournes toute la feuille : l’aire et la distance entre les droites parallèles restent identiques. Une hauteur auparavant verticale apparaît maintenant inclinée sur la photographie. Il faut donc vérifier la relation de perpendicularité, et non l’orientation du dessin sur la page ou dans l’application.
Dans un premier exercice fictif, les bases mesurent 13 cm et 7 cm. Un segment explicitement perpendiculaire mesure 4 cm, tandis qu’un côté oblique porte la mesure 5 cm. Il faut choisir h = 4 cm. Les 5 cm concernent une autre longueur, inutile pour cette aire. N’en fais pas une moyenne avec la hauteur.
La hauteur peut rejoindre le prolongement d’une base, à l’extérieur de la figure. Elle mesure toujours l’écart entre les mêmes droites parallèles. Prolonge légèrement une ligne dans ton brouillon si cela clarifie la situation. Si tu ne connais que les deux bases, sans hauteur ni autre information géométrique suffisante, l’aire n’est pas déterminée. Des séparations différentes donnent des aires différentes. Indique la donnée manquante plutôt que de mesurer arbitrairement un schéma annoncé comme non à l’échelle.
4. Calcule une aire, puis cherche la première erreur éventuelle
Avec a = 13 cm, b = 7 cm et h = 4 cm, additionne les bases : 13 + 7 = 20 cm. Leur moyenne vaut 20 ÷ 2 = 10 cm. Multiplie ensuite par la hauteur : 10 cm × 4 cm = 40 cm². L’écriture (13 + 7) × 4 ÷ 2 donne exactement le même résultat. Si tu saisis toute l’expression dans une calculatrice, conserve les parenthèses pour additionner les deux bases avant les autres opérations.
Une réponse de 80 cm² provient ici de l’oubli de la division par deux. Une réponse de 50 cm² peut venir du remplacement de la hauteur de 4 cm par le côté oblique de 5 cm. Ne traite pas ces erreurs comme un simple problème de calculatrice. Montre la première décision incorrecte. Par exemple : « J’ai pris un côté incliné pour la hauteur ; l’angle droit désigne pourtant les 4 cm. » Cette correction explique davantage qu’un changement silencieux du nombre final.
Une vérification numérique utilise la moyenne : elle doit se trouver entre 7 et 13. Pour une hauteur positive de 4, l’aire doit donc être comprise entre 28 cm² et 52 cm². Cette borne algébrique ne suppose pas qu’un petit rectangle tienne forcément dans un trapèze très décalé. Elle découle seulement de la moyenne de deux longueurs positives. Attention : 50 appartient aussi à cet intervalle. Le contrôle repère certains gros écarts, mais ne remplace pas la vérification de la hauteur et de l’expression complète.
5. Harmonise les longueurs et distingue les unités d’aire
Un autre énoncé fictif donne deux bases de 1,2 m et 80 cm, avec une hauteur perpendiculaire de 50 cm. Convertis d’abord 1,2 m en 120 cm. Tu obtiens A = (120 + 80) × 50 ÷ 2 = 5 000 cm². Tu peux aussi tout exprimer en mètres : (1,2 + 0,8) × 0,5 ÷ 2 = 0,5 m². Ce sont deux écritures de la même aire, et non deux réponses contradictoires.
Pourquoi ? Puisque 1 m = 100 cm, un carré d’un mètre de côté contient 100 × 100 = 10 000 carrés d’un centimètre de côté. Ainsi, 0,5 m² = 5 000 cm². Diviser une aire par 100 comme s’il s’agissait d’une longueur serait incorrect. Écris la conversion d’aire sur une ligne distincte. Si une unité finale est imposée, travaille dès le début avec les longueurs adaptées ou convertis ensuite avec le facteur au carré. Ne mélange pas ces deux démarches sans l’indiquer.
Une aire décrit une surface à deux dimensions. Une réponse en cm seulement est une longueur ; cm³ désigne un volume. Pour un jardin trapézoïdal, commence donc par une aire en m². Cette valeur ne suffit pas à déterminer la longueur de la clôture ou le prix d’un matériau. Il faut des données supplémentaires et une consigne correspondante. N’invente ni tarif, ni marge de découpe, ni longueur absente. Une réponse complète reste centrée sur la grandeur demandée, ses unités et les hypothèses réellement fournies.
6. Retrouve une hauteur en transformant la même relation
Si l’aire et les deux bases sont connues, transforme la formule au lieu d’en chercher une nouvelle à mémoriser. À partir de 2A = (a + b)h, on obtient h = 2A ÷ (a + b). Pour A = 72 cm², a = 15 cm et b = 9 cm, la somme des bases vaut 24 cm. Donc h = 144 cm² ÷ 24 cm = 6 cm. Une aire divisée par une longueur redonne bien une longueur.
Vérifie par remplacement : (15 + 9) × 6 ÷ 2 = 72 cm². Une hauteur proposée de 3 cm ne produirait que 36 cm² et ne respecterait pas l’énoncé. Ne modifie pas une base donnée pour rendre une mauvaise réponse compatible avec ton calcul. Garde les données d’origine visibles et examine chaque transformation. La vérification répond à une question concrète : la hauteur trouvée, associée aux mêmes bases, reproduit-elle exactement l’aire annoncée dans le problème ?
On peut aussi chercher une base manquante avec b = 2A ÷ h − a, si la hauteur est connue et positive. Pour A = 54 cm², h = 6 cm et a = 11 cm, on calcule b = 108 ÷ 6 − 11 = 7 cm. Une longueur négative n’est pas une réponse géométrique valable ici. Elle signale des données incompatibles, une mauvaise transcription ou une erreur algébrique. Vérifie encore que la longueur soustraite est bien une base et que la hauteur est perpendiculaire à celle-ci.
7. Demande une vérification dont tu peux contrôler les étapes
Fais d’abord ton propre essai. Présente ensuite au tuteur Lirno les bases choisies, la hauteur, les conversions éventuelles et l’expression que tu as calculée. Demande un indice, une explication ou le contrôle d’une seule étape incertaine. Par exemple : « J’ai choisi 5 cm pour la hauteur parce que cette mesure est sur un côté. Quelle marque dois-je vérifier ? » La question porte alors sur la décision géométrique plutôt que sur la production d’une feuille entièrement résolue.
Si une réponse annonce 50 cm² pour le premier exemple, compare la hauteur utilisée avec les 4 cm explicitement perpendiculaires. Si elle annonce 40 cm², contrôle tout de même l’explication : une bonne valeur finale peut cacher une mauvaise justification. Une IA peut mal lire une figure, inventer un angle ou raisonner de manière incorrecte. Elle ne garantit ni exactitude, ni note, ni maîtrise, ni autorisation d’utilisation. Respecte les règles scolaires et conserve une solution que tu sais expliquer sans rouvrir l’application.
Lirno peut être téléchargée ou utilisée pour commencer gratuitement ; certains niveaux d’usage de l’IA ou certaines fonctions avancées peuvent nécessiter Premium. Aucun outil payant n’est nécessaire pour effectuer ces calculs sur papier. Une fois le doute précis éclairci, reviens à l’énoncé et réécris toi-même la ligne corrigée. Si les marques ou les conditions restent ambiguës, demande à ton professeur quelle information est prévue. Une réponse formulée avec assurance ne remplace jamais une mesure réellement absente ou une propriété non démontrée.
8. Essaie une nouvelle situation et explique ce qui change
Résous cet exercice original sans regarder le premier : les bases mesurent 18 mm et 10 mm, et leur séparation perpendiculaire vaut 7 mm. Écris la formule avant de remplacer les lettres. La moyenne des bases vaut 14 mm, donc A = 14 × 7 = 98 mm². Si tu obtiens 196 mm², vérifie la division par deux. Si tu utilises une autre arête du dessin, reviens à la perpendicularité avant de recommencer les opérations. Distingue ainsi une erreur de choix d’une erreur arithmétique.
Dans une deuxième variante, conserve les mêmes bases mais donne une aire de 126 mm² et cherche la hauteur. Tu obtiens h = 2 × 126 ÷ 28 = 9 mm. Le remplacement de h par 9 restitue bien 126 mm². Ce sont deux trapèzes fictifs différents, pas deux résultats pour des données identiques. Modifier la hauteur modifie l’aire ; tourner simplement le même dessin ne la modifie pas.
Pour terminer, cache ton calcul et explique pourquoi on fait la moyenne des bases parallèles, pourquoi la hauteur est perpendiculaire et pourquoi l’unité est au carré. Si une explication bloque, travaille cette décision sur une nouvelle esquisse au lieu de recopier une série de réponses. L’objectif est un calcul court et justifié : lecture fidèle, unités cohérentes, opération transparente et résultat confronté aux conditions réelles. La qualité du raisonnement compte autant que le nombre final inscrit dans la copie.
